Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

12 ~~~~~INTRODUCTION ETr GENERIATEmS..
cription, non seulenient les points d'arriet' mais aussi ics oits anguleux
et tangentes stationnaires.- Mais ces dernie'res siugularit es peuvent,
dans une circonstance limite, cesser de de'roger bN la rlede continuite,
tout en ne ramenant pas 'a des points ordincaires. C'cst ainysi. qu'3en un
point anguleux A o~t les deux points~ infininment 'VOISIns de, A soint A'
et A"l, si les, deux directions AA' et AA" viennent- se confondre de telle
m-anlere que A' et A." soient d'un1 nimne cote par rapport 'a A, ii1 cesse d'y
avoir discontinuite' au Sens tangentiel et 'La continisite' de la description
est re'tablie, mais il v a dans la. inarche dui point miobile un rebrousseme A
De MeMe, Si sur une taiigente stationnaire les deuix points de contact P et Q viennent, a se confondre et si les arcs de courbes qui y abou.tissent sont de part ct d'autre de la tangente, Ia description continue de
la courbe est redevenue possible, mais avec un rebrouissemeat dans la
marche de la tangente. On dit qu'il y, a inflexion.
Au point de vue de l'aspect, un point dc rebrotissemnent et un point,
d'inflexion se distinguent d'un point ordinaire en cc quie
En un point d'inflexion, la courbc traverse la tanuente, au lieu de se
trouveir tout entie're d'un nehme c06 d'ailieurs, itrvseioem t
tout autre droite passaint par le point, ce qui niiontre qu'elle traverse
touttes les droites qui sont dans ce cas;
An voisinage d'un point de rebroussenment R, la courbe est en entier
d'un me~me cit* par rapport a- toute droite passanit par R (autre cjue la
tangente) au lieu de, la traverser. Deux cas d'ailleurs peuven-t se presenter
an sujet de la tangente elle-me'me la courbe peut la traverser (point. de
rebroussement de preniiere cspece) auquel cas la description tangentielle est entiebrement continue, on1 bieii ele pourra ne pas la trav\,erser
non1 Plus, auquel cas elie ne -traverse aucutne droite passant, pair t{, et la
description tangentielle subit, comme la description ponctuelie, un
rebroussenment. Cette derniebre sorte de lpoint singulier, dite point de
rebroussernent de deuxierne espece, equivaut comme on voit 'a la fois 'a
unl point de, rebroussemnet et 'a un point d'infiexiou (I).
()Nous montrerons an Chapi-Ire II qu'un point de rebroussement de dcuxi~me
esp~ce doit e'tre consid~r6 comme r~snltant de la confusion, nion sculemucat d'un poihit
de rebroussoment de premi~re esp~ce et d'un point d'inflexion, mais encore d'un
point double et d'une tangente double. Cette circonstanco a Wt 6tablic analytiquemont par Cayley.