Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE VI.

Correspondance de genre (p- i). - Venons maintenant 'a une
transformation de genre (p - i), dans laquelle an rayon 01 Al correspondent p rayons 02 A2, 02 A.
Le lien des intersections sera nne conrbe de degree (p + i), pnisqnc
sur tont rayon 01 Al se tronveront p points provenant de ses homolognes, pins le point 01 qni se rencontre lorsqne l'nn des rayons 02 occnpe
la position 02 01. Cette conrbe admet 02 comme Point mnltiple d'ordre p,
les tangentes e'tant les p homolognes de 01 02.
Comme cas partienlier, si 02 01 est l'nn des homolognes, de 01 02,
cette droite s'introdnit dans le lien des intersections, qni est completet6
par nne conrbe de degre' p ne passant pins par 01 et posse'dant 02 'a
l'ordre (p - i). Or, on pent tonjonrs ramener ai cc cas nne correspondance de genre (p - i) qnelconcqne, en remplagant par homographie la
gerbe 01 par nne antre de sommet w, ofl Wv 02sotpihmogn
de 02 wv. L'nne comme l'anutre de ces conrbes. d'intersectio'n sont des
unicursales rayonnantes.
On pent donc tonjonrs conside'rer nne correspondance de genre
(p - i), on, ce qni revient an m~m e en tenant compte senlement de
la gerbe 02, nne invointion de p droites, comme obtenne de l'nne des
fagons snivantes:
O0 En joignant le point mnltiple 0 d'nne nnicnrsale rayonnante S
de degre' (p ~ i) anx points d'intcrsection de cette conrbe avec les
droites d'nnc gerbe ponctnclle w, le point w e'tant pris sttr 5;
2-0 En joignant le point multiple 0 d'nnc nnicnrsalc rayonnante S dc
degre' p aux points d'intcrseotion de, octto courbe, avec led droitco d'unc
verbc ponctuellc a', le point w' 6tant oevt~rieu' a S.
Uine nnicnrsalc rayonnante donne'e, de degr6 p, pent donc servir 'a
di'finir des involntions de sommet 0 et de p on (p - i) droites 'a volonte',
snivant qne l'on ntilisc nn point a' pris hors de la conrbc on snr cule.
Snpposons donne's, dans nnc correspondance de genre (p - i), les
sommets 01. et 02 et deux syste'mes homolognes
01 B1/02 B2, 02 B'2 02. OB2 (P-'1
Voyons si la conrbc des intersections S est de~terminesc. Les donne'es
comprennent ponr cule nn point determinant en 01, nn point d'ordre p
en 02 [SOit P(P~ -'- )pit dtria et 2,p points intersections des
syste'mes connns; an total:
I- p (/p -~-) - 2 p2 -+-I5p-2
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