Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE VI.

Onl voit sans peine que le hien des intersections des rayons homologues est une courbe du quatrieme ordre on quartique admettant 01
et 02 pour points doubles, les tangentes 6'tant les rayons correspondant a 02 01 et 01 02 (1). Les rayons doubles de l'involution de sommet 01 (rayons de confusion de la correspondance envisag~e) donnent
sur chacun des rayons issus de 02 qui leur correspondent deux points
d'intersection confondus; ccci montre que de 02 (et de me'me de 01_),
on pent mener 'a la courbe quatre tangentes (fig. 88) et quatre seulement
(en dehors des tangentes en ces points eux-Memes).
La courbe des intersections coupe la con ique S en 01 et 02 (points
doubles) et aux points de rencontre avec les droites D et W'1W2. Les
figures 87 et 88 donnent des exemples de courbes ainsi obtenues.
Pour determiner une correspondance doublement de genre i, on pent
donner d'abord arbitrairement deux -syste'mes homologues:
0IAI, O1A'/02A,, 02A/2 et 01,131, OIB//OB2, 02BI.
Prenant une conique auxiliaire S passant par 01 et 02, on en de'duit les
points w, et W2. L'homographie des droites passant par ces points sera
Fig. 89.
A A, A
A C2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~B
connue en donnant en outre un couple homologue 01C1/02 C2; le's rayons
01/et 02Cr, se de'duisent des involutions de'ja' de'finies. Plus ge'neralement,
on pent donner 8 couples homologues quelconques, ce qui de'finit aussi
directement la quartique, en en faisant connaltre 8 points en plus des
points doubles (8 + 6 = 4). Les donn e prctdentes 'quivlaient,no
ht 8, mais 'a 9 points; cela provient, de ce que-les deux ensembles
01A1, 01AI/02A2, 0,A'2 et 01B1, O1B~/O2B2, 0,B'.

(I) Cette courbe cst du genre i.