Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE VI.

qrayons parn'd lesquels 01 A1 et les me'mes que l'on partoe do 02 A2o
de 02A',....Ces rayons do sommet 01 formeraient alors uno involution do q droites, de la me'me fa~on~que ceux de sommet 0 2 une involution de p droites. Les groupes homologues de ces deux involutions
peuvent e'tre mis en corres pondance univoque chacun avec un parametre, i6tablissant ainsi dos corrospondances do gonres rospoctifs (p - i
ot (q - i). On voit quo la transformation on causo e~quivaut 'a confon~dro los doux parami'tres ci-dossus, c'est-ai'-diro 'a fairo so succ'dor,
deux corrospondancos rospoctivomont do gonre (p - i) ot do genro
(q-i). _Nousa apelleronsuncorrespondanceol0A1., A'1../ A 0A',,.
q-i une 1' -/2 2' 022"
correspondance de genres (p - i) et (q - i). Sos propriet~s so de'duisont
imme'diatement do sa generation comme ri~sultante do deux transforma —
tions simplement rationnolles.
Correspondance de genre i.- Supposons d'abord qu'a' tout
rayon 01 A1, nous sachions fairo corrospondre doux rayons 0 2A2 et
02A' ot on sons invorso quo, partant deo ~2A2ou deo 02A'. nous rotrouvions lo seul 01 A1.
Nous savons que, 02A2t0 A'. 6tant on involution, si nous prenons
leurs points do rencontre a2 et a', avoc une conique auxiliairo quelconquc
passat pa 02,la droite a ca'.psearu point fixe w'. Il y a corres-,
pondance homographique entre los droites issues do w et los rayons 01 A1.
qui so coupont par suite sur une certaine conique E passant par 01 et
par wv. Ceci montre la re'alisation facile do la correspondance envisag~e
construisons los coniques S passant par 02 et Ej passant par 01. Sur la
dernie'ro prenons un point ws. Par celui-ci, monons uno droite variable
qui coupe S on a2 et a'. et _v en a1: le rayon 01 a1 a pour homiologues02 a2.
et 0K (fig 83).
On voit quo los homologues d'un rayon 01 A1. sont tanto't re'els, tanto't
imaginaires suivant quo la droite variable coupe re'ellement ou non la
conique S. Dans deux cas, ceux oii la dro-ite variable est tangento (en wvb,
par exemple) 'a la conique S, ils sont confondus: c0 sont los rayons
doubles do l'involution, et nous los nommerons rayons de confusion
dans la transformation do genre i.
Cherchons ce qu' est l'intersection dos rayons homologues do la transformation do genre i. Sur tout rayon 01Al, il y a deux points du lieu,
los points do rencontre aveoc 2 A2 et 02 A'.D2 ls e on 1apr
tient an lieu, I tant rencontr6' lorsque 01 A1 occupe la position 01 T
qui correspond as 02 01. Le lieu est donc une cubique. D'ailleurs, comme
sur une position do 01 A1 infini'ment voisine do.01 T so rencontrerait