Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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I0 ~~~~~INTRODUCTION ET GENEIMALITES.

le cas corre'latif serait celui d'une tangente possedant deux points de
contact distincts P et Q, chacun e'tant point d'arrebt pour la courbe an
sens ponctuel. Dans ce cas d'une tan gente stationnaire, la continuitb
existerait encore an sens tangentiel, non plus an point de vue ponctnel.
Courbes compl~tes. - Le passage par l'infini n'b'tant pas ~ notre
sens en general nne discontinuitb, supposons qn'nne courbe donnb'e S
ne presente ni point d'arrebt ni point anguleux. La description pourrat-elle e'tre effectunbe par nn point mobile (c'est-a'-dire suivie, matebrieliement an moyeir d'un style) d'une facon continue? Pas obligatoirement,
ca ipourra encore arriver que, parti d'nn point A, le point moile
descripteur revienne en A aprebs avoir parcouru unec partie seulement de
la courbe. Continnant la description, le point mobile retronverait des
positions de'ja' rencontrebes, et d~crirait inde'finiment une meme portion
de la courbe constitnant nin circuit fermb' on cycle. Pour passer d'nn
point quelconque du cycle 'a un nouveau point P de la courbe qui lui
soit exte'rieur, il fandra une interruption de tracb, une discontinuit6
essentlelle.
L'btude de la Gebomebtrie continue s'applique par nature 'a dcs courbes,
comple3tes, c'est-ih-dire ne posse'dant que des discontinniltbs essentielles.
Leur description pen etre effectnebe en nine on plusieurs operations, en
nombre fin, ind'pendantes dui ou des points de dc'part ado ptes. Une courbe
completes se prbsente comme constitube par un certain nombre de circuits ferme's on cycles.
Notre dbfinition. de ((courbe complbte ))exclut l'existence de points
d'arret, points anguleux on taiigentes stat-ion1naircs 'a distance finie onL
infinie. S'il s'en rencontrait, nious dirions que noous avons a'fiaire 'a une
branche on ' un segment de courbe. Imaginonls que, partis de A, nons
tronvion-s Uni point d'arret B. Reprenant de A, en sens inverse, nu
tronverons nebcessairement, a distance finie on m~ic, nfitrnpin
d'arre t C: BC est uac courbe incom-pletc on segmnict. Pour 'Ia complbter,
ii fandra adj'oindre 'a sa definition tine variante convenable qui fasse
obtenir entre auntres elements nouveaux une branche CB. C'est alinsi
par exemple que le lien des points tels que MA -- MB =h, A et B
6tant deux points -fixes, prbsente deux points d'arreit a linfini sur les
demi-droites Ox et Oy. Pour le compibter, il faut Ini adjoindre la branche
repondant ii MB- MA= h; 1'ensemble constitue alors la courbe
complbte hyperbole.
L'hyvperbole on l'ellipse ne sont constituees que par un soul cycle..
Une courbe telle qne celle representbe h la figure 4I et que nons appel