Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE V.

208 CIJAPITRE V.~~~~~~~~I
Si p est le degre', que nous cherchons, de la transformation, ecrivons
que les cubiques sont autogebnes:
3P - /7it - 3.
Comme le proce'de' qui de'finit les points homologues en donne un bien
determin6, pour tout point, sauf peut-etre les sept du groupement, il ne
saurait y avoir de point singulier en dehors d'eux, et cette 'equation n'est
autre qu'une des relations singulie'res. Ecrivons l'autre
Rsvatpar division, il vient aussi~
14 =P It, p 8.
La trans/ormation du neuwieme point est de degre 8 et possb'de les
sept points donne's comme singuliers du degre' 3. A chacun d'eux correspond une cubique qui a, par riaison de sym~trie, le point. lui-me"me
pour point double, et les six autres points siuguliers pour points simples.
Cela la de'finit- parfaitement.
Nous pouvons e'noncer les the'orebmes suivants auxquels il serait facile
de donner des variantes nombreuses.
THE'ORE'ME I. - Ibant donne's sept points arbitraires et faisant de'crire
a un huitie'me une droite, le lieu -du neuiwi'me point des cubiques passant
par les huit premiers est une courbe unicursale du huitie~me degre' admettant
les sept points fixes comme points triples.
THE'ORP'ME II. - Si' an lieu d'un huitie'me point on donne pour determiner la cubique la tan gente en l'un des sept premiers, le lieu du neuv-ie~me
point depient une cubique ayant ce point pour point double et passttnt
par les six autres.
Ajoutons que, l'homologue d'un point dans une transformation birationnelle dont on connait la syndromie pouvant toujours s'obtenir,
comme nous savons, an moyen de constructions 'a la re'gle, le neuvime'M
point, entraine6 pour les cubique's passant par huit points donne's, pourra
etre construit avec la re~gle seulement..Revenons 'a la transformation. Chaque courbe singulie~re posse~de le
point singulier correspondant au degr6 wi = 2. On en de'duit
Xu, =7 X 3 >< 2 =42,