Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORMIATIONS A BASE COMMUNE. TRANSFORMATIONS INVOLIJTIVES. 0

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et oi'i celles 'a S' coupent S. Tous ses autres points d'intersection avec les
courbes donne'es seront singuliers.
Enfin, on pourrait remplacer dans la determination un on les deux
couples d'unicursales rayonnantes autour de A, par une ou deux courbes
qui admettraient Al comme multiple d'ordre (p - 2-). Les deux intersections (autres que Al) d'un rayon Ajx a-ve c une telle courbe donnent
alors l'un des couples de l'involution et la courbe propose'e est autoge'ne
pour la transformation.
A titre d'exemple, donnons-nous une cubique de point double Al et une conique
quelconque C par ce point. Cherchons 'a les rendre homologues dans une transformation rayonnante du second ordre, que nous d~finirons par la droite D singuli~re et
homologue de A1.
Mais si t est le point de in cubique oii la coupe la tangente 'a C en Al, si t1 et t2
sont les intersections de C avec les tangentes 'a in cubique, ces trois points doivent
appartenir 'a la courbe singuli~re de A,, et comme, en general uls ne sont pas en
ligne droite, ii scra impossible de d~finir une transformation du second ordre.
Fig. 8o.

Si cependant t, t1 et t2 etaient sur une m'me droite D, il suffirait de prendre celle-ci
comme droite singuli~re. Les deux points B et C oi~i D coupe la cubique en dehors
de t sont les deux autres points singuliers; in conique des points doubles devra passer