Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE V.

courbe est de d~egre' (p -i) et admet en Al les me~mes tangentes que A.
Nous retrouvons la transformation du troisie'me ordre e'tudie'e tout i
1'heure en partant d'nne cubique sans point double.
En ge'ne'ral, pour determiner une transformation involutive rayonnante de degre' p, en supposant connu le point multiple A1, il faudra
adjoindre des donne'es telles qu'elles determinent la courbe A sans ambiguite' ni surabondance. Or,
p (p — 3) _ P - - _ _ _ _ _ _ _
2 ~~~~~~~~~~~~~~12
Il faudra done fixer en outre (3 p - i) points doubles. Ceux-ci peuvent
d'ailleurs etre remplace's par des couples de points homologues, on encore
par un point de la courbe singulie're (homologue de Al). La donne'e d'un
point singulier Ai e'quivaut 'a celle de deux points doubles, puisqu'elle
fait connaltre un point de la courbe A et sa tangente.
Plus ge'neralement encore, on peut de'finir une transformation involutive rayonnante en fixant le point A1 et en se donnant comme homologues deux couples de courbes unicursales rayonnantes autour de Al.
En effet, soient S et S', E et V' quatre courbes unicursales rayonnantes
autour de A1, par ailleurs de degre's quelconques. Un rayon Ajx coupe
chacune de ces quatre courbes en un point et nn seulement s, s1, 8 l,9
Conside'ons l'involution de'finie Sur cette droite par les couples ss', a-',
et faisons correspondre 'a tout point de la droite son homologue dans
cette involution.
Nous avons ainsi de'fini une transformation birationnelle du plan.
Toutefois, soit a un point d'intersection (autre que A1) de S et E; pour
que la condition de continuite' ne Soit pas en echec, il faudra que S' et >S'
aient aus si un point d'intersection Sur la droite Ala, on. bien que a soit
un point singulier auquel la droite Ala corresponde tout entie~re.
Remarquons que la courbe singnlie're S1 re'pondant 'a A1 passera par
tous les points oi'i les tangentes en A1 'a S couperont S', oii celles 'a 5'
couperont 5, celles 'a E couperont E' et, celles 'a V', 1. La courbe des
points doubles passera par les points de concours de S -et S', E
e t ]E'.
On pourrait aussi de'finir uine transformation involutive rayonnante
an moyen de deux unicursales S et 5', et de la courbe singuli "re S, donniee
a priori. Dans ce cas, l'un des couples de'finissant l'involntion Sur un
rayon Ajx se compose de A_1 et de l'intersection avec, Sl. Mais, cette fois,
Si ne sautrai t&rc donne'e arbitrairement. Il est en effet indispensable que
cette courbe passe par tons les points oii les tangentes en A1 'a S conpent 5'