Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORMIATIONS A BASE COMMUNE. TRANSFORMATIONS INVOLUTIVES. 20

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9201D,

Supposons que dans un probl~me de'termini6, nous soyons ramene's Li rechercher,
un certain point m 6tant fix6, un autre point m' lie' 'a lui dc la mani~re suivante
Soient a, b et p trois points fixes du plan. E~tant donn6 m, tra~ons la circonf6rencc,
inab ct la droite pm. Le second point d'intersection de ces deux cour bes sera in'.
On voit aussitft que m et mn' sont en correspondance birationnelle et r6ciproque.
Cherchons la nature de cette correspondance et d~terminons pour cela les 6lements
singuliers. Or, amenons m en p; la droite mp dc~ient ind6termin6e et I'on voit qu'h
cc point correspondent tous ceux do la circonf6ronce pab. D'autre part, plagant n'
sur pa on pb, on de me'mo sur los droitos imaginaires pi on pf, nous obtenons touj ours
commc douxibmo point m' suivant los cas a, b, i onu/
La corrospondanco (mm') r~aliso donc une transformation birationnello involutive
d'ordre 3, les points singuliers 6tant p (in dice 2,), a, b, i, j.Cotte transformation est.
rayonnante. Nous conclurons de lit le lieu do m' pour toute vdriation donn6o
do in. Si Jo point in d~crit une droite, m' d~crira une cubique ayant p pour point double
et passant par a, b, i, i (cubique unicursale circulaire). Le point in' cofucidera avec mn
toutes los lois que celui-ci se trouvera sur la cubique passant par p, a, b, i, j et
admettant aux quatre derniors points los tangentes pa, pb, pi, pi, etc.
Transformations rayonnantes involutives gdn~rales. - Conside'rons
une solution rayonnante do degre' p. Nous allons montrer' qu'elle
conduit toujours 'a des transformations involutives ous tons les rayons
issus du point singulier Al d'indice (p - i) sont autoge'nes.
Tout d'abord, si une telle transformation existe, sa syndromie cornporte une oourbe de dogr6 (p - i) admettant le point Al eornme multiple d'ordre (p - 2) et passant par (2 p - 2) autres points singuerA2, A3,...,~ A 2P1' ce qui la determine. Do plus, les (2- p - 2) droites,
Al Ai, chacune 6'tant homologue do Ai.
11 oxiste sur tout rayon passant par Al doux points doubles ot leur
lieu constitue une courbe de points doubles A de degre' p admettant Al.
comme multiple d'ordre (p - 2-), s05 tangentes en ce point etant los
memes que celles do la ceourbe singuliiwre. Do plus, la courbe A passe partout point Ai et y est tangente it A1_ Ai..Inversement, supposons donne'e u-ne courbe A do degre' p admottant,
comme unique point sin-gulier un point multiple Al d'ordre (p - 2-).
Elle de'finit une transformation involutive rayonnante de degre' p. En
effet, sur toute droite Al M on rencontre doux points variables B et. C.
Ii suffit do faire correspondre it tout point M du plan son homologue dans
l'involution d'finie sur la droito A1 M par los points B et C pris comme
points doubles.
Ceci re'alise bien en effet une -transformation birationnelle, qlui satisfait it la condition do continuite'. La courbe A est pour elle Une courbe
do points doubles; le point A, est singulier et il luil correspond une
courbe qui n'est autre quo sa polairo harmonique par rapport it A. Cette,