Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE V.

est done une eubique (sans point double) passant par A et tangente en
ee point 'a la eonique singulie're. Nous aurions Pu de'duire tous ees re'sultats de la formule et des proprietits d'm-ontre'es plu's haut. Nous savons
en outre que ladite eubique passera par BCDE et y sera tangente 'a AD,
AC, AD et AL.
Nous eonnaissons an total einq points et einq tangentes de la eubique
de points doubles. Ajoutons les trois points H, H' H" eela fait i3 'le6 -ments au lieu de 9, d'oii la possibilite' d'e'noneer de nombreux the'ore'mes.
Nous retrouverions notamment eeux que nous avons signale's an Chapitre II1.
Comme dans la transf ormation du seeond ordre 'a eonique de points
doubles, il n'y a pas 'a proprement parler de eourbes jumelaires:les
rayons issus de A peuvent e~tre conside'res eomme de telles eourbes
de'gen ere'es.
2-0 CAS S1~PARE'. -Au lieu de faire eoineider B avee B',..., separons
maintenant les lettres identiques et &'ablissons les coineidenees
13 et CG, D et E'.
Nous faisons ainsi eorrespondre ht B une droite A' B' diffe'rente de AD
et qui doit eoineider avee AC transforme'e de C'. Cela exige que B' et C
eoineidet dmme DetL*En resume', nous avons eserrespondanees
A B C D E
conique AC AB AE AD
Un rayon Am a pour transf orme' un rayon Ami' et leur involution est
de'finie par les-couples de rayons homologues
AB, AC AD, AE.
Les droites BC et DL se correspondent, les droites BE, BD, CL, CD
sont autoge'nes.
Les points a et a' oii deux rayTons homologues Am et Am' coupent
la conique de'crivent sur celle-ci deux divisions en involution:La
droite aa' passe par suite par un point fixe f. Celui-ci appartient en particulier 'a BC et 'a DL. Comme de plus ces deux droites se correspondent,
il est un point double. /A doit done e'tre un rayon double et par suite A
est un point double de l'involution aa'. A' est done le pied d'une tangente 'a la conique issue de f.
Cett fos, ladiff1erence du cas pre'c'dent, nous ne pouvons plus nous
dc'nner arbitrairement les einq points A, B, C, D, L. Nous pouvons choisir