Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

i 98 ~CHAPITRE V.
J'ailleurs n1i i, Ai vient
Comme, en outre, p I I, la transformation consid~r~e posse'de
une conique de points doubles qui doit e'tre tangente en B et C aux
droites AB et AC. Nous avons rencontr e ce cas particulier de la transformation du second ordre. Les rayons issus de A se transforment en
eux-memes et deux points homologues in et mn' s-ont conj'ug'ues par rapport 'a la conique. La transformation est, si l'on veut, rayonnante. 11 n'y
a pas a proprement parler de courbes 'jumelaires. On pent envisager le
rayon A w comme en jouant le ro'le pour le point in.
Enfin, un troisie'me syste'me consisterait 'a faire coincider A avec B',
B avec C', C avec A'. Celui-ci ne peut donn'er lieu 'a une transformationinvolutive. En effet, le point A pris dans la premie're division aurait
pour transforme'e B'C', c'est-a'-dire AB. Pris dans la deuxie'me, il s'appellerait B' et aurait pour transforme'e AC. Le point A, et de me'me 13
et C, contreviendraient 'a la definition rn'me de IlIinvolution.
Transformations involutive~s de degr6 3.- Les transformations
birationnelles de degre6 3 ne posse'dent comme nous avons vui qu'un seul
type caracte'rise' par le syste'me -sin-gulier
2 I 1 1 1.
La syndromie, dans chaque division, comprend une conique et quatre
droites passant par un me'me poIint A de la conique. L'indice de ce point
est 2. Les quatre droites 'coupent la conique. en quatre autres points
B, C, D, E d-ont l'indic-e est I. Comme nous avons fait au Chapitre pr'c6&
dent, nous noterons les points singuliers de la deuxie'me division de
manie're que A'B' soit la droite sin~guli~re homo~logue de B, A'C' cello
de C, etc.
Pour construire une transform-at ion involutive avec un tel ensemble.
de courbes, il faut e'videmment faire cofincider les points A et A' dont
l'indice est 2 dans les deux divisions. Cela pose', nous pouvons operer'
de trois f amons
1O TRANSFOIIMATION RAYONNANTE. - Fai 'ons d'abord coffncider B.
av-ee B', C avec C', D avec D', E ave-c E'.
Un rayon A m a pour transf orme'e une courbe de degree 3 x i- -2 17,.
c 'est-A'-dire U'nn e droite ~qui pas~s aussi par A. De ux rayons A m et Amrr'
d~e'riraient en general deux faisceaux involutifs;' mais, dans le cas qui