Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORMATIONS A BASE COMMUNE. TRANSFORMATIONS INVOLUTIVES. 197
Lorsqu'une transformation n'a que des points doubles isoles, il n'y
a pas de courbe W, on a w o, wi o et par suite
j p 4+ I, i - i.
Le nombre des intersections de deux courbes jumelaires situees aux
points H est dans ce cas
j2_ sj_ - 2h = (p 4- I)2_- (p2_ I) -p,
car j2 devient egal a u2.
Le second membre simplifie donne p + 2; nous retrouvons le resultat
de'ja etabli pour les points doubles d'une transformation avec base
commune, meme non involutive.
Transformations involutives simples. - En possession de ces
proprietes generales, passons rapidement en revue les transformations
involutives les plus simples.
La plus simple de toutes est l'homologie; puis vient la transformation
du second ordre. I1 faut remarquer qu'etant donne un triangle que nous
choisissons comme triangle singulier et qui constitue par ses cotes et ses
sommets la syndromie de la transformation, si nous le notons ABC dans
l'une des divisions, A' B' C' dans l'autre, nous pouvons assurer la coincidence de trois facons differentes:
ABC ABC ABC,
A'B'C' A'C'B' B'C'A'.
Le premier systeme nous donne la transformation du second ordre
proprement dite; elle possede quatre points doubles isoles. Les courbes
jumelaires y sont des cubiques sans point double (Chap. II).
Le deuxieme systeme fait correspondre:
a A la droite B'C', c'est-h-dire BC,
a B C'A' Al AB,
a C, A'B', AC.
On verrait facilement que le meme sommet pris dans chacune des
divisions a dans l'autre division le meme cote du triangle pour transforme. Les involutions de rayons correspondants issus des points singuliers peuvent donc etre confondues et une transformation involutive
est possible sur ces donnees.
Mais cette fois deux des droites AC et AB passent par leurs correspondants C et B. On a pour chacun de ces deux points wi = i. Comme