Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE 1.

on, commne le degre' i est e'gal 'a 2 Ih + i,
g 1j-2.
Cette formule tombe en de'faut dans le cas de certaines transformations particulie~res ou' certains points suppose's distincts par notre raisonnement se tronvent confondus, par exemple dans le cas oii denx
points singuliers coincident ge'ome'triquement. Elle montre que, sauf
cette exception, tontes les, courbes jumelaires qni seront des cubiques
seront sans point double, etc. Cette relation exclut la possibilite' ponr
les courbes jumelaires d'etre des droites. Nons savons par ailleurs qn'elles
ne penvent etre que de degre' impair 2 h + i.
Courbe de points doubles. - La courbe de points doubles posse'de
cette proprie'te tre's inte'ressante que son de gre' se de'duit immediatement de la connaissance de la syndromie de la transformation.
En effet, nons avons vn qn'elle passe wi fois par le point singulier Ai,
'w tant le nombre de fois oui passe par ce point sa propre transform'e Si.
Ces nombres wvj nous sont donc connus en MeMe temps que la syndromie.
Soit alors w le degre' de la courbe W. Elle doit par- nature se transformer en elle-m me, c'est-ah-dire en une conrbe de degre egal.Nn
devons donc avoir
WP VP~ - 2E U1iW
p -
Connaissant w, on de'duit aussi~ / par la relation i + w - p + i
Mais on pent aussi donner une formule directe pour j. On a en eff et
It!(i Ot (u- j)u= Uit -j
et
Xu1-'1 W 2u Itiji = p2~. -1 X1/1;
d'oa'
j =p -~ W - ~p +i I - J2
et simplifiant
p-I
Cette formule montre que, tout comme la courbe W, les courbes J se,
transforment en des courbes de Meme degri'. Ii e'ait 'evident a priori
qu'une courbe jumelaire, lien de points jumele's, e'tait une courbe autogi'ne. Nous aurions donc pu ecrire ce resultat de prime abord.