Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE V.

Un point A infiniment voisin du point Q a, par raison de continuite',
pour transformed un point A' Regalement infiniment voisin de Q. De plus,
il est e'vident que les directions Q'A et QA' se correspondent dans une
involution. Ii existe donc deux directions Qy et Qz doubles dans cette
involution, c'est-a'-dire telles qu'a' toute branche de courbe tan~gente h O
en Q par exemple, corresponde une autre branche de courbe passant
par Q et 6galement tangente 'a Qy. L'une de ces deux, directions est e'videmment celle de la tangente 'a la courbe de points doubles W en Q.
L'autre est celle de la tangente 'a la co'urbe jumelaire. Cela rb'sulte de cc
que si QA et QA' sont confondus, QAA' sont en ligne droite, c'estai-dire que A et A' sont des points jumele's d'une droit' asn a Q
et appartiennent par suite 'a la courbe jumelaire de ce point.
Soit Qz cette tangente, unique et bien db'termini~e, h~ la courbe jumelaire de Q (suppose' bien entendu un point simple de W). La jumelaire
d'un point quelconque de Qz passera par Q et sera tangente en ce point
a cette droite puisque deux points A et A' infiniment voisins de Q Ini
appartiennent.
Re'sumonis en enongant le the'ore'me sulivant:
THE'ORE'ME. - Si l'on conside're une branche de courbe passant par un
point double Q, et sa trans/ormrte, les deux tan gentes en Q sont con'u gu~es
harmoniques par rapport a' la tan gente a' la courbe de points doubles et a'
l~a tan gente commune a' toutes les courbes jurnelaires passant par Q.
Les 'urnelaires qui passent par Q sont d'ailleurs celles qui correspondent
aux points de la tan gente commune.
Toutes les droites analogues 'a la droite Qz dont il vient d'e'tre question out pour enveloppe une courbe dont la definition n'est pas sans
analogie avec celle de la d6velopp~e. Si / est Ia classe de cette pseudode'velopp~e, de W, la courbe jumelaire d'un point quelconque m coupe
la courbe de points doubles en / points'variables avec m.
Points multiples de la courbe de points doubles. -Conside'rons deux
courbes jumelaires J et J'. Elles se coupent en /2 points dont
Eaux points singuliers A1_, A..
2A sur la droite qui joint leurs poles.
Iipourra arriver que l'on ait
12> -ii 2h..
Dans ce- cas, la courbe J' coupera J en de nouveaux points H., H42...*