Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

I g'),

CHAPITRE 1'.

192 CHAPITRE V.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
donc entre eux. Certains, au nombre de w' par exemple, peuvent etre
des points doubles; les autres, au nombre de 2 h -p - vv, se correspondent deux 'a deux. Nous les appellerons les points /tuneles de la droite.
Faisons tourner d'une maniebre continue la' droite D autour du point in.
Les w points doubles d~crivent une courbe, simple ou d6compose'e en
plusieurs, que nous nommerons la courbe des points doubles WV mn etant
un point quelconque non double, le degrb' de XV est vv.
Quant aux 2 h points se correspondant deux h deux, ils engendrent
une courbe J de degreb / - h + i +I - w. En effet, cette courbe
coupe en dehors d'eux une droite quelconque D au point in, car si inI
est le con'uou6 de ce dernier on rencontre in et in' comme points du lieu
lorsque D occupe la position inun'.
Ainsi done, le lieu des points jumele's des droites d'un faisceau ponctuel in est une courbe de degr6 impair que nous appellerons la courbe
junielaire de in. Nous allons 6tudier les propriebtbs principales des
courbes jumelaires,.
Courbes jumelaires. - Conside'rons une droite D passant par in et
trebs prebs d'un point singulier Ai. Sa transforme'e est une orthogebne,
courbe de degreb p dont iti branches passent par le point Ai. Sauf cas
particulier, aucune de ces branches n'a pour tangente la droite inA1
de sorte que nous avons sur D iti points qui sont des points doubles ou
jumele's de D et qui sont infiniment, voisins de A%. Lorsque D vient dans
la position ntAi, ces points viennent se conf ondre avec A1 en Idonnant
des branches de courbe respectivement tangentes 'a celles de l'orthogebne
transformebe de mnAi.
Mais cette orthogb'ne est dbcomposee en deux courbes l'Fune est la
courbe singulie're Si transformebe de Ai. L'autre est une courbe de
degreb p - ui. De'signons par ~w le nombre des branches de la courbe S -
qui passent par Ai. Je dis que les wi branches tangentes 'a celles de la
courbe Si appartiennent hi la courbe des points doubles WV, et que les
ti- wi autres branches appartiennent h. la courbe jumelaire J de in.
En eff et, soit B un point -de la courbe XV trebs voisin du point singuHer Ai. Nous savons (Chap. IV, p. i6i) que les points infiniment voisns,
d'un point singulier A1 dans une direction A1 B correspondent 'a des
points infinirnent voisins d'un point P3 de la courbe singulie're Si correspondant h Ai. Mais B e'tant un point double coincide avec son transformeb et doit etre. lui-meihe infiniment voisin du point P3. Ceci exige que
les directions A1 B et A1 p soient infiniment voisines et qu'a' la limite
vienne en A1 en me'me temps que B.'On voit qu'il ne peut exister de