Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

Igo

CHAPITRE V.

(p2 - 1) sont confondus avec les points singuiliers de P2 (ii n'v a pas de
tangentes communes en ge'neral), et ne sont pas, des points doubles. De
plus, Si flous envisageons la droite a, b., elie a pour homologue une
coure Ga b2qui la coupe en p points, communs at Hi et II' sans pour
cela C'tre points doubles.
Nous trouvons done au total
(p ~ )2-~ (p2- i)-_p =p 4-j2
points doubles ve'ritables.
Nouts savions de'ja' cue dans tine -transformation homographique
(p -i) leur nombre e'tait 3, dans une quadratique 4.
II faut remarquer que nous avons suppose' les deux courbes Hi et H'
distinctes, mais il pourrait arriver quelles soient l'une et l'autre dC'g&.'
nerees et posse'dent une partie commune ii1 y aurait alors -tne courbe
entie're de points doubles (cette partie commune), plus en ge'neral
quelques points isole's.
Si done nous rencontrons dans une transformation de degre' p plus
de (p +2) points doubles, nous devrons en conclure, soit que la transformation est identique, soit qu'elle posse'de une courbe de points
doubles.
Couples involutifs.- Supposons que, dans une transformation
(PI. P2), un couple homologue a, a2 soit tel que le point a', coincidant
geome~triquement avec a2 ait pour transform6 uin point a 2 coincidant
avec a,. Notts dirons que le couple ala2 on 'a est involtif.
Une transformation d'un type donne6 ne pent en ge'neral avoir qiu'un
nombre determine' de couples involutif s, 'a momns de les avoir tous, c'estat-dire de devenir elle-me'me involutihe. Soit en eff-et (P P) ne transformation de degre' p. Doublons-la, c'est-at-dire envisageons uLne transformatLion (P1 P3) qui fasse passer d'un point a1 'a l'homologue a3 (pel
tout it Il'heure a'9) du point de P1 qui coincide avec a2. La transformation (P1 P3) sera en ge'neral de degre' p2, car a priori il n'y a pas de raison
pour que des points singuliers de P1 et de P2 coincident ge'ome'triquementL. D'autre part, tout couple involutif de (P1 P2) donne deux points
doubles pour (P1 P3). Si h est le nombre de couples involutifs, nous avons
done
(p -4h)-+ /

points doubles et ce nombre doit e'tre en principe infe'rieur it p2I2