Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

CIIAPITRE V.
TRANSFORMATIONS A BASE COMMUNE. TRANSFORMATIONS INVOLUTIVES,
Supposons que les plans, contenant deux divisions planes P1 et P2
mises en correspondance'birationnelle coincident ge'ome'triquemenlt.
Un point a du plan P, con sider's comme appartenant 'a la divisioni P1
et note' a1., aura un, homologue a; evsgdnP2et note' a',i aura,
un homologue a'1 en ge'neral distinct de a2. Si a', et a2 se trouvaient
coincider systematiquement, nous dirions cine la correspondance serait
involutive; nous examinerons ce cas pins bas.
De plus, a2 sera en ge'neral diffe'rent de a1L. Si ces deux points coincidaient, le point a serait un point double de la transformation. Ii est clair
que a' et a' en me'me temps coincideraient entre eux et avec a1 et a2
Recherchons dans une transformation birationnelle de degreb p avec
base commune s'il y a des points doubles.
Soient a1 et b1 deux points fixes, a2 et b2 1leurs homologues. Soit in1
un point variable et joignons anim,, blmn1. Ces deux droites out pour
homolog~ues les courbes orthogebnes Ga2 in2, Gb2 in2, G 6tant le groupement singulier de la division P2.
Supposons que mn soit un point double, c'est-a'-dire que ml. coincide
avec mn2. Les quatre courbes Ga2,m, Gb~t drite a~in droite b rn,
doivent passer par ce point.
Or, lorsque, la droite aim1 tourne autour de a1, la courbe Ga2in2 debcrit
un faisceau ponctuel, et les intersections de ces deux courbes ont pour
lieu une certaine courbe H qui posse'de sur toute droite issue de a1.p oits xtriers~i 1.De plus, elle passe par a1 lorsque i'orthogn
occupe la position Ga2 a1, c'est-ah-dire une seutle fois. La courbe H estu
done de degr6 (p +i); elle passe par chaque point singulier Ai de G
U~ fois, les tangentes e'tant celles en cc point de la courbe transf ormee de a1,Ai.
De Meme, le lieu des intersections des droites b~im, et de leurs transf orm~es G b2in2 est une courbe H' de 'degrb' (p +i). Si mn est un point
double, ii ne pent e~tre qu'a' l'intersection des deux courbes H et H'.
Celles-ci se coupent en (p + 1)2 points. 1\Iais, parmi ceux-ci, 1 U 2 OU