Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORMIATIONS BIRATIONNELLES GE'NERALES. 185
Aux courbes GB1D1. et GBIE1, les droites B2 D2 et B2 E2 et, bien
entendu, entre eux les points B1. 12~ C1 C2...Nous avons de'fini une
transformation birationnelle.
En effet, soit AM, un nouveau point, GB1Mj de'finit une unicursale
qui admet en B1 une tangente B,_ni. La transforme'e sera nne droite B2 X,
telle que le rapport anharmonique
B(C2 D,' 12X)
soit e'gal 'ai celni des tangentes en B1_. Elle est donc de'termine'e.
La transforme'e de GC1 M, est de'finie de me'me en envisageant le faiscean de conrbes GC, auquel correspond la gerbe ponctuelle C2. Enfin,
les courbes GB1Mj et GCjM, n'avaient qu'un seul point commun,
puisque G est de genre zero, et ii correspond d'une manie're univoque an
point de concours des denx droites transforme'es.
On ponrrait encore raisonner comme suit: oit (T) une transforrnation faisant passer dn plan P1 an plan P2 et admettant dans P1 un
gr oupement singulier
Al A,,... A,,/ it1-,1 u... It,.
Soit (T') une nouvelle transformation birationnelle du mi'me degre,
egalement. entre P1 et P2et admettant dans P1 le me'me groupement
singulier.
La transformation (T + T') qui fait passer de la division P2a une
division confondne avec elle-ni&'me, doit e'tro de degr6,
p2 - V =(2 p2 V X a2 - 1
Les transformations T et T' ne peuvent diff6rer que par une transformation homographique. L'une d'elles est donc de'finie par la fixation
de quatre points.
Remarquons que les points de P1 dont on choisit ainsi arbitrairement
les homologues dans P2 puet 'tre indiffrm etsnulier onquelconques. De Meme, on1 peut choisir des points sin g~ers dans P2.
Ainsi, dans une -transformation quadratique, on pent prendre les trois
points singuliers dans chaque division, pins tin couple quelconque homolonue.
A titre dexemple, consid~rons une transformation de degr6 3. La syndromic
dans P~ est eompos~e d'une conique S' et de quatre droites concourant en un do
ses points Al. Elle est d~finic par la donn~e des cinq points A1, A2.. A5,
Donnons-nous dans lc plan P2, arbitrairemcnt quatre points singulicrs A'1 (indicc 2-),
A Al correspond unc conique SI qui doit passer par A' A' A' A'; 'a A,, A1,