Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORMIATIOINS BIRATIONNELLES GENERIALES. i

18 i

Nombre
(l'unitCs. n j fl'.

Solution Nombre
conjngu~e. d'unit~s. Observations.

Degr6. Solution.

64 4333i1111
6.'4433222-1
64333333i i
6 3)3 ~-33333
55.54[i.....
5551 3311i....
5.5 531,2 21)11 1
5544I.3211
5444422411
54443322

4 10 7333221
I 9 5.53 3 32
2 9 i
o 8 63 3 3333 3
8 1 2 8 ~2 22I I
6 if.i
3 1 064221
o 9 4il4444411
I 10 1
1 9 355 44 2 2 221
2 9 644332221
o 8 4443
2) 9 1
o 8 5432
3 9 55,5222222
8 1)553 )3 3332

2)
2)
0
3.3
I
I

c ubi que
conique
con ique
coBi q u

0
0
0

Supposons que, dans un probl~me propos6, la fixation des donn~es soit e'quivalente ai celle d'une certain point in du plan, et que les inconnues dependent d'un
autre point in' li6 au premier de la mani~re, suivante
Soient A, B, C, P et Q cinq points fixes du plan. IEtant donne' in, tra~ons les deux.
circonf 6rences AB in et mCi, puis construisons les polaires D de P par rapport 'a la
premi~re, A de Q par rapport ii la seconde. L'intersection de D et A sera in'.
On voit aussit~t que, in et in' se, correspondent birationnellement, car in entraiine
un seul in', et r~ciproquement, ce point 6tant donn6, la condition qu'il soit conjugu6
avec P determine avec A -et B une circonf~rence unique S, celle.qu'il soit conjugue'
avec Q d~terniine avec A et C une autre circonfr~rence unique 5', et S et S' ont, hormis
A, i et j qui sont fixes,,nn seul antre point commun qni est in.
Cherchons in nature de cette correspondance, et pour cela, ses courbes, singuli~res dans la division de in. Ces courbes seront telles que, in les'd~crivant, le point in'
correspondant scra fixe.
En premier lieu, plaqons in sur la circ~onfe'rence ABC. Ii ui. correspond en tout
point lintersection cc des polaires de P et Q par rapport hi ce cerele. ABC est done une
courbe singuli~re de la division (in).
Pour tout autre, courbe, lune on Fautre des polaires -variera, mais on sait que les
polaires de P par rapport ih toutes les circonf~rences passant par AB tournent autour
d'un certain point P1. Envisageons la circonf~rence a., de'finie par A, C et Ie couple
corijugue' QP1_. Lorsqne in la parcourra, in polaire, de Q sera fixe, et passera par P1.
La polaire de P par rapport h ABmn, variera, mais passera toujours par P1. Tout
point de cette circonfi~rence a done pour homologue P1.
De me'me, si Q1t est le conjugu6 de Q par rapport ht tontes les circon-f~rences du
faisceau AC, la circonf~rence ABQ1 nI (division in) a pour homologue Q1. (division in').
Nous avons done trouve' dans la division in trois coniques singuli~res, les circonf~rences ABC, r1 et a72 auxqnelles correspondent- cc, P1 et Q1.
D'autre part, soit in sur la droite de linfini; ics circonf~rences ABin et ACin se