Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORMANTIONS BIRATIONNE LLES GENERALES. 173)
birationnelle, sont, avons-nons vn, unicursales, c'estL-a-dire de genre'
zero. M/ais elies ne sont pas toutes les courbes de genre zero, car les deux
equations ci-dessns ne sont pas e'quivalentes 'a la relation
2t 2
et cette dernie're Pen etre satisfaite par des courbes qni admettent ponr
etre de'ternmine'es, en pins de leurs points singnliers, nn seni on Meme
ancun point ordinaire. Nons nommerons ces courbes unicursales anorthoge'nes et nons en donnerons des exemples pins loin. On verrait facilement qne la demonstration de 'La page i 68 s'appliqnie encore 'a elles et
cjne les trois points singuliers de l'ordre le plus e'eve' sont tels que
III -H — 12 -H- (13 > /)
On pent done, par nne transformation qnadratiqne, a~baisser lenr
degre', et, de proche en proche,' les mettre en correspond'ance birationnelle avec une droite. Senlemient, ne ponvant pins joner le role d'orthogene, elles jonent celni de conrbe singnlie're.
Enfin, ii pent se rencontrer des conrbes de genre zi'ro dont la deterrnination soit comple'te sans necessiter la donn~e'ede tons lenrs points
singnliers; elles ne sont pins snsceptibles de correspondance' birationnelle avec nne droite, au momns par l'interme'diaire d'nne transformation
plane. Nons les laisserons de co'te ponr le moment (conrbes isolV'es).
Th6or~me fondamental d'existence. -- Cela pose', combinant suc
cessivement des transformations qnadratiqnes, constitnons tontes les
transformations possibles de degre' 3, Pnis 4, etc. Ce faisat nons anrons
obtenn tontes les nnicnrsales orthoge'nes de ces degre's, mais non tontes
les conrbes possibles de ces degre's.
Snpposons cine nons soyons parvenns an degre6 (p - i). La recherche
des transformations de degre' p va nons otre rendne possible en v~rifiant
senlement les conditions (3) pour les untcursales orthoge'nes de degre' in/~rieur, par le the'ore'me snivant
Etcant clonne'e une solutto u1t2,..,l dut systerne des deux relatiolis
sin gulii~res de degre p, telle que les inc gal ites
(3) X~~~~~~~~uk'~mIp
sojent scttis/aites pour touts les types d'unicursales orthoge'nes de degre'
p - iaut plus, on peut toujiours detertniiner des transformations birattoli