Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

1 -,-2

CHAPITRE IV.

Composant avec une -transformation quadratique une nouxvelle transformation quadratique, lions obtiendrons des transformations de
degre's 4, 3, 2, I suivant que lions ferons coincider dans la seconde divi51011 o, I, 2 on 3 points singuliers des deux transformations. Continuant
d'emplover ce proce'de, nous arriverions ai dresser une table des transf ormations existantes de degre' croissant. Mais nous allons e'tablir un the'oreme-general permettant de de'nombrer a prilori les transformations d'un
degre' determine sans etre obfig6 de construire toute la chaine des transformations qui la composent.
Pour cela, lions rappellerons que l'existence d'une transformation
birationnelle quelle qu'elle soit suppose deux choses
lO L'existence d'une solution du syste'me
xit =-_ 3, V It2 =p2- -;
2-0 L'application hi cette solution des inegali~ de lom
(3) ~~~~~~~~~~~~Ekit,~~ inp.
Cette relation que nous avons e'tablie en disant que la transformation,
si elle existe, doit donner pour la transforme'e de toute courbe un degre'
positif, signifie qu'aucune courbe de degre' in (Suppose' infe'rieur 'a p) ne
constitue partie inte'grante d'une courbe de degre' p passant par le grouipement de degr'~s it_1, at2,...,~ it,. Elle exprime qu'une courbe de degre' p
passant par le groupement Al A2... An/au.U.... u a, est une courbe ve'ritable, inde'composable.
Mais d'abord, il n'est pas 'evident a priori que, prenant arbitrairement
dans un plan (n +2) points A1 A A,~ B1, B, ilsi osble de
trouver une courbe de degre' p et une seule telle qu'elle posse'de les n premiers points aux degr's a12.,ae uelle passe par les deux derniers. Si ce fait est re'alise, nous dirons que le type de courbes al It2... It",
de degre' p existe.
L'existence d'une transformation birationnelle, qui suppose celle de
deux infinite's doubles de courbes passant par les groupements
AI A 2 A. n/ui Ut2 I. a,
A Al Al t' it' it'
est donc intimement lie'e 'ai celle de deux types de courbes de degre' p.Ces deux types pen-vent d'ailleurs se confondre si les at et les at' sont e'gaux
deux 'a deux.
Ces courbes, susceptibles d'etre les ortboge~nes d'une transformation