Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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6 ~~~~~~INTRODUCTION ]ET GENER ALITES.

on le cornpas, nous conside'rerons qu'une courbe est connite lorsque nous
possderons de ses points et do ses propriet6s en nombosfiatpu
pouvoir construire autant de points que nous voudrons iui appartenant,
et dans toutes ses parties. Inversement, dscubs tatdfies
nous pourrons g6ne'raliser la notion de construction ge'ome'trique en conside'rant comime connus des points determines sans ambigu~te6 par
i'intersection de deux courbes connues. Ceci s'entendra done quand
bien Meme les courbes en question, ne pouivant re'sulter de constructions
g em~riques ordnieeieotpour leur trac' soit l'emploi de procede's m~caniques (1), soit, la ontncninue de points par ajilleurs
ausi rpprch~ qu lon voudra. Une cat'gorie tr's importante de
constructions geo me'triques, avec- le sens ge'neralise' que nous en-visageons,
s'obtien~dra notamrnent par l'emploi do constructions 'a la re gle et- au
compas seulement, mais avec utilisation d'une on plusieurs courbes
prealablement tracees et re'alise'es par suite pratiquemeut avlec toute
l'approximation quo l'on vouidra (abaques).
Syst~me tangentiel.- Au lieu. d'envisager lespace ou le plan
comme ensembles de points, ii est tout aussi le'gitime do lour d onner
comme e'6ment constitutif la droite; da us le plan, une droite se re'alise
directement an moven d'une re'gle. Le plan en comporte une double
infinite' et nous de'signerons leur ensemble sons le nom do gerbe plane.
Le point devient 'a son tour une figure, la plus simple des figures tanlgentielies. Ii ost entib'remont de'fini dans le plan par la donnebo do deux
droites et l'infinite' simple do droites passant par lui constitue une gerbe
ponctuelle piano.
Un raisonnoment caiqu6 sur eelini do tout t i'heure nous conduirait
at la proposition suivante:lorsqu'un ensemble do droites do premie're
grandeur est tel quo par tout point du plan iI en passe uno et uno seule,
cot ensemble ost forme' do droites concourant en un Meme point,, c'estit-dire constitue une gerbo ponctuollo.
Courbes. -On donne plus spe'cialement le nom do cow'be it une ligno
lorsqu'elle presento, sauf peut_-etre en quluspit igulir, u
caractb're do continuite'. Nouis adopterons pour los courbes pianos la
definitiou suivanto
Une courbe plane est ica figure /ormcee par uine infinite' simple de points

(1) Cette g6n~ralisation, non admise par les Anciens, leur faisait regarder comme
non valables des solutions comme cellcs dn c~l~bre probl~rmc de la duplication dn
cube an moven de la quadratrice de Dhiostrcate on de la conchoide de Nicomide.