Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE 1V.

Soit ui le terme de la suite tel que
ul -- 112 -t-... + ZUI - i et u -- i t-...- 4 -- Ii i> p - I.
Posons
111 -4- l12 - -.. -- == p - I --
La premiere somme pourra parfois ne contenir qu'un seul terme, mais
en renfermera n6cessairement un. L'equation (i) exclut en effet l'hypothese u1 -p, ce qui donne p - I comme maximum aux u.
Soit maintenant uj le terme (de la suite), tel que
ti+ -- 1ti+2 -4-.. -- ujl<p - I a ec li+1 -4- l i4-2 -...,- Zj - jt+l > P -.
Posons encore
uiE +.. ~4. j == - I p -- y.
Nous concluons de l'equation (2) que
uj+ +...- un= p -I y + y'.
Cela pose, multiplions les termes de la premiere serie tous par u1.
Comme ils sont tous inferieurs ou egaux a i1, nous aurons
Il (tu - +- U + li) - u - t_ u 4-.... - u
ou
l,(p - I -y)>....+ t 2.
De meme
j+l( p — -y y') > It i +-...-+ J.
Ajoutons membre h membre ces inegalit6s; il vient
l(p - I -Y) +Ui 1(p -I-y')+ zj+l (p - +y - +y )-y) i 2,
(p - i) (zti -- Z(i+l -4- 1j+1) > _2 4-y( Z1 - ~j+i) ~-y (i1+l — Ij+l )Or, (ui - ut+1), (Uti+ — uj+i) sont positifs, y et y' le sont de meLme en
raison de la facon dont nous les avons definis. I1 en resulte que nous
avons a fortiori
(p —= ( l-' I)/t - ti+l- + Lj+i) Z^2
ou
OU
(p - I) ( Ztj -- i+-l -+ - 1tjIl ) ~ p2 -Ilt l 4- ti 4-1 - Cj+l P - I;
ce que nous voulions demontrer.
On voit, qu'en general, il est possible de trouver de plusieurs facons
trois points tels que la somme de leurs degres soit superieure a p + I
et qu'en particulier la somme (U1 + U2 + U3) l'est toujours. Elle est