Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORMATIONS BIRA~TIONNELLES GENERALES. 1 67
Prenons dans PI une droite arbitraire D., I1l mi correspond dans P,
une courbe 02 qui passe par le groupement singulier A/u. Comme Di est
arbitraire, nous pouvons toujours supposer que02 ne passe par auctin
point deP2 autre cque les A qui soit singulier pour (P P3.Ledg& es
transforme'e sera alors
r== pqI - It VI It2 V-2 -1 v/i 'f
r' =Pq - - lip.
Cette expression qui donne le degreb d'une orthiogebne queleoncque
de P3 donne celni de la transformation (PI P3).
En particulier, supposons que (2P)soit une transformation qua —
dratique, dont les points singuliers A, B, C dans P sont singuliers,
d'ordre a, b, e pour (P1 P2). Le degr' de P1 P3 s&i
r' 2-p a -b - c
Soient A', B', C' les points singuliers de la mebme transformation quadratique dans P3. Le point A' appartient comme nous avons vu (p. i 6i)..
p -- b- c
fois 'a la transformebe d'une courbe 0., e'est-a'-dire 'a une orthogb'ne 03
de (P1 P,). Son degreb comme point singulier de (P1. P3)es do e pb
sement p -- b - c.
Abaissement du degre. - INous allons montrer maintenant que 1'on
pent toujours abaisser le degre' d' une transformation birationnelle,
e'est-a'-dire la conside'rer eomme resultante de deux transformations
de degr6' moindre. En derniebre analyse, on pent toujours la ramener a,
une sueceession de transformations cjuadratiques.
Nous nous servirons, pour de'montrer eette importante proposition,
du l-emme suivant
LE -1MME. -- Dans unf groupement singulier, il est toujours possible de
trouper trois points tels que ia somrne de leurs ordres soit supe'rieure a'P
Supposons les ordres UP, U2,..., u,. range's par ordre de grandeur
dbe'roissante; chaeun d'eux est supe'rieur ou an momns egal 'a eelui qpni
le suit. De plus, ils satisfont aux. deux -relations fondamentales
(i) __~~~~~~~~ p )