Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE IV.

duirait 'a des relations de position entre les divers points singuliers:trois
sur une mj me droite, six sur une Meme conique, etc'. Or nous demontrerons an prochain Chapitre qu'ils sont g~om6,triquement independants.
Admettons-le provisoirement pour e'noncer les quelcue rultats suivants dont nous ne tirerons pas pour l'instant de consequences
La reltion 2 2k i (t3sinfie que la valeur de'terminante
du groupement des points singuliers pris chacun avec un indice e'gal hi
leur ordre dans la courbe singulie~re S est. pre'cise'ment it(t3,Svmboliquement, en convenant de compter un point multiple pour un nombrc
de points e'gal 'a sa valeur determinantc.
ii (i -i — 3)
THE'oRi~IVLE. -Une courbe sin gulie're de degre' LL pas-se par -- poi nts
sin guliers.
Transformant cette proposition, et avec des conventions de langagc
analogues:
TH1~oR'ME -Par un point sin gulier (le degr' paset 2 -43 rn
ches de courbes sin gulieres.
Groupe birationnel. - Les transformiations birationnelles forment
uan groupe. En effet, soit une transformation birationnelle qui fasse
correspondre pitpar point deux divisions PI et P.. Notons-la (PI P.;).
Soit d'autre part (P P,3) une nouvelle -transformation birationnelle qui
fasse passer de la division P2 'a la division P3.
II est clair qu'a' tout point a., de PI, sachant faire correspondre un
point et un seul a2 do P2, et 'a cc dernier un point et un seul a3 de P3,
nous savons etblr u meme coup une correspnacbitonei
entre a1L et a,,. Nous e'crirons symboliquemient
(P1 P2) -H(P.)- U3) (P1 P3),
plus ge'neralemont
( PI P2) ~+ ( P2 P3)~... ( P/11 P71) =(PI P/1)
Degr6 de la r6sultante. - Soient p Ic degre6 de la transformation
(P1 P2) et, dans le plan P2, A1., A2,...,I All ses points singuliers dont ics
degr's' sont u.1, u(2,..., ltll Soit q le degre' do la transformation (P2 P3).
Les points A1, A21... A/, sont pour cette derniebre transformation
des points singuliers d'ordre v:L, V'2,..., v,, ces nombres v -' tant nuls toutes
los fois quo le point correspondant est un point ordinairo pour (P P3).