Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORMATIONS BIRATIONNELLES GENERAL[ES. i 65
et (3"). Lorsqne nous aurons dernontre' l'existence de courbes de degre'
plus 6dev~ e, elles nous permettront 'a leur tour d'e'dicter des conditions
nouvelles.
Passons an cas des courbes singulie'res. Nous venous de 'dire que la
transform~e d'nne courbe quelconque doit e~tre an momns de degre' i.
Pour une courbe singulie're cc n'est plus vrai, la transformnee n'est plus
qu'un point. Le'quation
nin= nip - -Y kit'
doit n'e'tre plus absurde, mais ne pas indiquer non plus de courbe in' ne
pen tre e'gal qu'a' ze'ro. Les courbes singulie'res se caracte'risent donc
par la condition
Inp -,kit'== o, kit'= Inp.
Cette relation exprime aussi qu'unc o~rthoge'ne et une cour-be singulie're
ne peuvent se couper qu'en des points singuliers:on anrait pn le'tablir
a priori par cette consideration. Ii semble pourtant y avoir contradiction entre cette proposition presque e'vidente et les considerations da'veloppe'es 'a la page i 6o. Ii n'en est rien; 'a la page i 6o, il est question d'orthog~nes transforme'es de droites passant par an point sin gulier A. Ce sont
lat des orthoge'nes singulie'res cui coupent en un point variable la seule
courbe singulie're S transforme'e de A. Elles sont en re'alite' forme'es de la
couLirbe S elle-me'me et d'une courbe 02, de degre' p - at qui coupe S en
nn point variable; celui-la' Meme qui intro duit A dans la droite et correspond homographiquement 'a la direction de tangentes qu'elle de'finit.
Dans ce qui pr'ce'de, le degre6 d'une courbe singulie~re du plan P1 se
note at et nous pouvons e'crire
I ku'= pit.
Toute courbe re'elle de degr6 at telle que cette relation soit ve'rifie'e est
une courbe singulie~re, puisque sa transforme'e n'est pas une courbe.
Ccci de'montre en passant, au point de vue arithme'tiqne, que cette
equation oii P, a et les nombres a' sont Suppose' connus donne pour les
nombres h. un nombre fini de solutions en nombres entiers et positifs.
Je dis que la donne'e des points singuliers par lesquels elle passe, et de
leur ordre, autrement dit la donne'e des nombres k suffit 'a determiner
une courbe singulie're. En effet, s'il en 6'tait autrement, il y aurait une
infinite' de courbes ayant les me'mes valeurs des nombres k, done de
courbes singulie'res, ce qui est inadmissible. Il en re'snlte que l'expresSion 1k2k1) est an moins egale a
Elle n'est pas non plus supe'rieure 'a cette dernie~re quantite'. Cela con