Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE IN'.

D'ailleurs, chaque branche passant par Ai perdue si l'o n pent dire
par C2 se retrouve dans les courbes singulie'res homologues des points
isinguliers situe's sur C,.
Tangente aux courbes. - La tangente en un point in1 d'une
courbe joint deux points infiniment voisins mn1 et n1 de cette courbe.
m1 et n1 se transforment en m2 en2, et m2 n2 est la tangente h la courbe
transforme'e pourvu que ml soit un point quelconque:par raison de continuite', in et n1L 6tant infiniment voisins, mn2 et n2 le sont Regalement.
Des courbes tangentes en ml1 se transforment done en des courbes tangentes en in'2. Un point multiple d'ordre s,' c'est-a'-dire qui a s tangentes,
se transforme en un point multiple du me"me ordre. Ces re'sultats, qu-i
expriment que toute transformation birationnelle est transformation
de contact, sont vrais plus ge'neralemen~t pour toute transformation
ponctuelle continue.
Si A'1 est un point singulier, son degre' n'est plus conserve. Soient en
effet C., et C'1 deux branches de courbes passant par l~ e point A'1,correspond sur h'une an point a, sur h'autre au point b de sa courbe transforme'e S'~. Pour que C, et C' soient tangentes en K', il faut qu'un point
Fig. 72.
C,
C2
d'intersection mnlvienne se confondre avec A'. Si in1 vient en A', 7112 vient
de son co'te sur ha courbe S' et l'on voit qu'en consequence a et b viennent
se confondre avec hui. Le fait que deux courbes sont tangentes en un
point singuhier prouve donc que leurs transforme'es coupent en un meme
point ha courbe singulie're correspondant~e. Si ehhes e'taient en outre
tangentes en cc point entre elles, hes premieres courbes seraient oscuhatrices, etc.
On voit que des courbes passant en un Meme point a d'une courbe