Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRANSFORAMATIONS IIIRATIONKNTLLES GENERALES. IJ
Nous, appeilerons styndroinie- la figure. conistilu~e' par. iensemble des
courbes s-Ing-ulie'r-es. et deg points singuliers dans, l'u des plans tranlsforme's. Dans le cas de'' etudie' de la transformation quad-ratique,, la
syndromie est un triangle dans l'un et l'autre plan. C'est celui que nous
avons appele' le tricangle sin gulter.
Cournbe de degr4 in.- Chercho.ns m-aintenant q ueile est la courh-e
transformn e'e C2 d'une courbe quelconque, C1 de degre' in du, plan P1.
Supposons d'abord que C., ne passe par aucun des points singuliers
A'l..., A'v Dans ce cas, une orthogt~ne quielconque 01- la coupe' en din
poin s, quelconques'. Ceux-ci donnent en transformant in-p points, d'intersection, de C2 avec une droite. CZ est. dona une~ co-urbe, de. degre" ip. Si
daillleurs Si est une, courbe s-ingulir queconq~ie du plan P1 qui, corresponde au point s-ingulier A1 de degre' ui, C.1 et Si se~ -o-upent en, uin
points quelconques, puisque situe's sur C,.
Celia montre que qz pas~se init foris par le point Ai.
Supposons que C1 passe maintenant par le Poimt S-i ugulier A'1 ai4 pointI-s
d'in~teirsec ion avec une o thoge'ne quelconique viennent se confond-re
en, A'1. Ii n-'y a plus% que inp -tt' points d'intersectio queconqucs
et C2n'est plus que de degr' inp - i Toutefois, on peut dire quo
lorsqu'une courbe passe par A'1 auquel correspond la courbe singtilie're S'1 de degr6 a> sa transforme'e est touj ours de degr' inP, mais
decompos~e en, une courbe quelconque C2de degr' inP - a>' plus ta
courbe S'
D'une man" re generale, si la courbe C1 pasek oipaA,.,k1 ois
par A',, sa transform'e est une courbe C2 d er
in np 1it'=..p - k, ' t,
le''nip - X kit',
ai laquelle on peut ajouter Si I'onl veut k1 fois la courbe S'I, h.,k,1, fois
la courbe S>.
La courbe C2 a cesse' de comprendre Mina fois le point A-. Eu etf et, la
courbe, singulie're Si passe elle auss-i par- les- points s-inguliers, A',..., A'
elle posse'de par exem ple A' h- lordre. s-1A, F l'rdre 82, d ot
que C1, et Si ont de'ja aux points singuliers
kj s1 -~-k2S2~-. ---
intersections.. 11 n'y en a douc plus de varictbles, donn-ant sur C2 un
branche passant par Ai, que