Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHxPITtE IV.

fermer u1i points homologues de Al, e'est. —dire a rencontrer en u^ points
le lieu des homologues de A1; ce lie est une courbe de degr ut.
Ainsi done, les points A1, A2,..., A, ont dans le plan P1 pour homologues tous les points de courbes S1, S.,,..., S,^ de degres respectivrement
egaux a u1, tt2,..., ltn.
De meme, les points singuliers A',..., A,,, du plan P1 ont pour homologues les points de courbes, S'',.,, S,, de deogrs uit,,,..., u,, dans
le plan P2.
En r6sume, etant donn6e une transformation birationnelle de degre p
entre deux divisions planes P1 et P., il existe:
Dans le plan P1, des eourbes singulieres S1,..., de degres utl, u,..., u,,
et des points singuliers A',... A',e, de grs 'l E,., u'i,;
Dans le plan P',. des courbes singulieres S',,..., S',, de memes degres
que leis points singuliers precedents et leur cor;respondant, et des points
singutliers A1,.., A, d dedegres u, s,....*, I,, repondant aux courbes S
de Pi.
II ne saurait y avoir d'autres courbes singulirees qcue les courbes S et S'
que nous avons definies: elles introduliraient dans les orthogenes de
nouveaux poin.ts fixes, ce qui serait inadamissible.
En consequence, il ne peut y avoir d'autres points singuliers que les A
et A', tels qu'il leur corresponde une courbe. II ne peut non plus y en
avoir de tels qu'il leur corresponde un nombre fini de points. Si en
effet E1 etait un pareil point et qu'il lui orresponde les deux points distinets E2 et E'., a la droite E2:E', parfaitement d6finie correspondraient;
toutes les orthogenes passant par E1,. ecest-i-dire en r6alite tout le plan.
No.us ne serions plus en presence d'une veritable transformation birationnelle.
Soient done Si et Sj deux courbes singuli6res de P, et x un point o4:
elles se coupent. Le point x etant sur Si a pour homologue Ai: etant
sur Sj, il a pour homologue Aj. Ce point, ayant plus d'un point homologue, est un point singulier, et, d'apres ce que nous venons de voir, il
se confond avec un des points A'.
Les points d'intersection des courbes s-iguliieres sont done tous des
points singulliers. C'est dire que snr tout ure rbe singuliere se trouvent
des points singauiers. Par tout point singulier d'ailleurs passent des
courbes singulieres qui sont les homologues des points singuliers situ6s
sur7 sa transfforme-e.
Ert res-ume:
Les points d'intersection deux a deux des colrbes singuglieres d'un plafn
constituent ' enserble des points singuliers de ce plan.