Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

TRXNSFO0RMATIONS BIRATIONNE LLES GEINEnALES.17

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corespndetforment, un re'seau, Ot, Si Fon, vent, le groupenient
lA-1A All. i, 't~2... ut, des points singuliers est un groupement
mode II. On en d6duit
on
Y, I2 ~ It =p2 ~-3p -4~,
et, combinant avec la relation pr~ecdente,
(2) ~ ~ ~ ~ a 3~p — 3 (p -- 0
D'ailleurs, si1 1'on ajoute an- grIoupernent singulier A, A2... A,, un
nouve-auL point. M"2 les or-thoge'nes de'finies sont les homologues des
droites de la gYerbe MI, et elles forment uLn faiscean ponctuel. Comme Ml
a un SCat homologue M2, le passage du groupement mode RI an groupeinent mode F se fait saris points entrain~s et l'on voit que le groupement
sin gulier est de genre ze'ro. Les courbes orthoge'nes sont des unicursales.
On ve'rifierait d'ailleurs aussito't, en re-tranchant e'~galite' (2) ci-dessus
dc l'ogaiit~ (i), que le nonmbre des points doubles auxquels ezjuivaut le
ngroupement singulier est bien de
C n --- I1) ( i - 92
En r~suni6, nous avo ns 6tabli cque les ordres de multiplicite6 des points
singuliers appartenant, clans la division1- a2 toutes les orthoge'nes 02,
doivent satisfaire 'a deux relations fondamentales. Ii. est clair qu'il
existe de rnime dans la division P1un gYroupement. singulier A' A' A'.
et cjue l'on a, 6(alement les deux relations
(i') ~ ~ ~~~~~a'2 ~p2 I
Courbes singuli~res. Syndromie.- Conside'rons une courbe orthoo~ne 0 trasform'e de la droite D1. Lorsqu'un de ses poinsm2l
d~c'rit d'une mani',re continue, lhomologue ml de'crit Di d'une manie're
continue.
Or, in-2 passe itl fois par le point Al, tt2 fois Par le point A2...C'est
done que ml rencontre Sur Du ponshomologues de A1 u2 homologues de A~,
Lorsque la droite D, variera dans le plan, elle continuera a ren