Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

CHAPITRE I'V.
TRtANSFORMATIONS BIRATIONNELLES GEN1RRALES.
Proposons-nous maintenant- 1'etude des transformations birationnelles les plus ge'nerales susceptibles d'e~tre ftablies entre deux divisions planes P1, et P2()
Rappelons qu'une correspondance sera birationn-elle si les. proc'd.6s
geo e'triques quii permettent de la re'aliser sontelqudunpita
de la pvemie're division,, uls permettent de de'duire un Ipoint a. de la
seconde et un scul, et,, par les me'mes constructions prises en ~sens inverse,
font revenir du point a an seul point a1. Cela sauf peut-'etre pour. un
nombre fini de points singuliers.
Noius supposerons de plus c ue la corsondanc envisag~e est conftnue, c'est-hv-dire faitu correspondre h une variation continue de I" Iment a, da ns P1 une variation continue de a2 dans P2;- enfin, qu'eile
fait passer de la totalit6 des points de P1 'a la totalite6 des points de P2.
Ces deux conditions supple'mentaires reviennent 'a dire, comme dans
le cas de l'homographie de droites que no-us avons etudie'e au debut., que
la re'alisation de la transformation nI'utilise que des proce'des ge'ome6 -triques continius et comnplets.
Cela pos6, supposons re'alise'e une transformation birationnelle entre P,
et P2 Faisons de'crire par -un point a1. de P1 une courbe C1; lhomologue a2
parcourra lui aussi un ensemble de points continu et de premie~re grandeur, c'est-h-dire une courbe C. Si la premie're courbe est comnplete,
Ia seconde le sera 6galement, et Ile nombre de leurs discontinuityes essen -
tielles sera le me'me. Une- transformation birationnelle conser've la
calence des courbes.
Soit en particulier dans P1 une droite D1; ii lui correspondra dans P2
iune courbe (orthogtmne) que nous noterons 02, et qu~i sera de valence

(1) Les proprie't6s essentielles des transformations birationnelles ont 6te etablies
analytiquement par le g~onm~tre italien CREMONA, n6 en i83o, professeur 'a l'Univers46~ de Bologne, puis fi 1`1cole des Ingesiieurs do Rome.