Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

ETUDE DES COURBES PLANES. CAS PARTICLILIER DES COIJRBES ALGE~BRIQUES. 1I5
nique de OH- par rapport aux tangentes 'a S. De plus, sur OH, les deux
autres conjugues harmoniques viennent se confondre, donnant pour la
polaire e'gai~ement un point double.
Soit i le point de contact d'une tangente menebe de 0 'a S. L'un des
conjugue's harmoniques cofincide avec i, ce qui montre que la-polaire
harmonique passe par ce point, mais clle n'y est pas tange~nte aI S:la
direction de sa tangente est celle'du diamb'tre conjngu6 de la direction Oi
dans une conique osculatrice 'a S en i (1). Les deux autres conjugue's
viennent se confondre, ce qui montre que Oi est tangente 'a la polaire
harmonique: de 0, S et sa polaire admettent les me'mes tangentes.
Supposons maintenant le point 0 choisi Sur la cubique. Ii n'y a plus
cette fois, hormis 0, que deux points d'intersection, desquels on de'dnit
un seul conjugub hbarmonique h. D'ailleurs, si la se'cante passant par 0
vient 'a se confondre avec la tangente 'a S, un des points d'intersection
variables vient aussi en 0, et par suite le conjugue' h. La polaire passe
par 0 et admet la Meme tangente que S.
La polaire d'un point 0 de la cubique S' est done une conique passant
par 0 et tangente 'a S' en ce point (2). Elle passe par les quatre pieds des
tangentes issues de 0 et ceci conduit 'a l'importante proposition suivante:
Le rapport anharmonique des quatre tan gentes menen~es a' une cubique
d'un de ses points vai'iables est constant.
En efflet, les quatre points de contact abcd et deux points conse'cutif s 0
et 0' de la cubique e'tant snr une me~me conique, la valeur des rapports
O(abcd) cet O'(abcd)
est la me'me. Elle reste constante lorsque le point 0 se db'place de proche
en proche.
Supposons encore que le po"le 0 choisi sur la cubique vienne en un
point d'inflexion I. Lorsqne la se'cante variable Ix viendra coincider avec
la tangente, cc n'Iest plus senlement nne des intersections variables,
mais les deux cette fois qui viendront en I. Le conjugue' harmonique
cesse d'etre determine. Tout point de la tangente pent e~tre consid~re'
comme tel. C ette droite s'intro'dnit dans la polaire; qui est const~itubee
en ontre par une droite A. Comme celle-ci doit passer par les pieds des
()En un point courant de la polaire, obtenu comnme conjugu6 harmonique de P
par rapport A A et B, la tangente passe par le point de concours des tangentes h S
en A et B.
()Elle se confond avec in polaire premi~re dont nous parlerons an Chapitre VI.