Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

E~TUDE DES COULIBES PLATNES. GAS PARTICIJLIER DES COURBES ALGEBRIQIJES I 51
est de genre i. Des raisonneinents a'nalogues pourraient donc etre
appliques 'a tont autre type de courbes de, genre 1.
Nous avons de'j' indiqlue que Si, parmi les 9 points d'intersection de
deux cubiques, 3 sont en ligne droite, les 6 autres sont Sur une
conique et reciproquement. Soit done un faiscean ponctuel de cubiques
passant par 4 Points fixes a, b, c, d d'nne cubique S; une conique C du faiscean coupe S en deux autres points variables in et n. Nous allons montrer
que la troisic'me intersection q de la droite inn avec S est fixe. En, effet,
soit C' une autre conique du faisceau qui. coupe S en in' et n'. Les
ensembles C +droite innC' droite inn et S constituent trois cubiques qui. out les 8 points a, b, c, d, in, n, in, nIcommuns. Elles out done u
tieuvie'm-e point d'intersection, le point de concours q de inn et mn' n' qui
est par suite situ& Sur S et fixe.
On voit que par 4 points d'une cubique, on pent faire passer 4 coniques
qui soient en outre tangentes 'a la courbe: les points de contact sont les
pieds des tangentes 6rnan~es du point q. Ce re'sultat s'e'tablirait aussi
directement par une transformation quadratique de points singuhlers a b, C.
Conside'rons deux syste'mes de trois droites A, B, C, A',~ B', C', les premie'res coupant les secondes en 9 points; ceux-ci forment tin groupement
complet. F, chaque sxst~n-e de trois droites ponvant etre consider's
comme tine cubique dg6ne'ieree. Toute cubique passant par 8 de ces
points passera donc par le neuvieme.
Rapprochons inde'finiment les deux droi-tes Aet B:A', B' C' deviendront les tangentes en a, b, c 'a tine cubique monogene du faisceau, et a', b' C'
sont les tan gentiels (1) des points precedents. On voit que (fig. 7i)
Les tan gentiels de tirois points d'une cubique en ligne droite sont euxinemies en ligne droite.
Approchons encore inde'finiment la droite C des deux precedentes.
Cela suppose que notis ayons choisi p our a tin point oAi la tangente A'
rencontre ha courbe en trois points infiniment voisins, c'est-'as-dire tin
point d'inflexion. De me'me pour b. Or, le neuviebme point vient alors en c
lui atissi, Sur la direction C':
Si deux points a et b d'une cubique sont d'infiexion, le troisieime pointc
oa~ lat droite ab coupe la courbe est aussi d'inflexion (2).

(1) Se reporter Chapitre II, p. 99.
(2) La plupart de ces propositions sont dues 'a Mac LAURIN (i 698-1746), ciI~bre
g,,,omitre anglais, professeur de mathi~matiques it Aberdeen.