Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

4 ~~~~~INTRODUCTION ET GENERALITES.
Pour faire disparaitre cette exception, on convient de dire que OMI
et D SC conpent encore, mais en un point inaccessible: a l'infini. Ceci
revient 'a incorporer an plan des Tlments nonveanx,anqlsos
creons ainsi par definition une existence pnrement sub'jective.
D'ailleurs, Si 1'on envisage la trace de OM Sur une droite dn plan
autre qne D, D' par exemple, on constate que lorsqne M s'e'loigne ind&'
liniment, la trace M' Sur D' tend vers une certaine position I', la meme
lorsque M s'edoigne sur D dans un Sens.on dans l'autre.
On -convient donc d'attribner 'a tonte droite nn point 'a l'infini, et un
seal, qni determine avec tont point du plan une droite et nne senle,
paralliel 'a la droite donn~ee c'est la proposition Sur la parallele nniqne,
counnue sons le inom. de postalatant d'Euclide (1).
Grace 'a l'introdnction des points 'a l'infini, la proposition de la page
precedente est devNenne generale et denx droites qnelconqnes dn plan
ont toajiours un point comman. Il n'y a plns 'a distinguer entre les positions relatives des droites, et nons dirons que, -relativement h4 eles, le
plan a acquis le caracte~re d'nn ensemble complet.
Un plan, envisage' spe'cialemert comme ensemble de points, prend le
inom de diwision plane.
Proposition. -Une ligne plane qni conpe tontes les droites d'nn plan
en un point et un senl est une droite. En effet, soient a et F~ deux points
d'nne telle ligne:la droite or.3, Ia conpe en denx points an momns, ce qni
est impossible par hypothi'se, 'a momns qu'elle ne coincide pre'cise'ment
ovec elle.
Or, le lien des points ai I'infini d'nn plan est tel qne tonte droite a en
commun avec lni un point et nn senl. Ii a done les propri~te's d'unn
droite; on le nomme la droite a' linfini du plan.
Constructions gdom6triques. -Cela pose', tonte operation g6ome'triqne
consistera essentiellement-dans le plan, e'tant connns certains points,,
a en construire d'antres repondant a nn bnt propose, en determinant,
suiccessivement des droites comme. joignant denx points et des points
c'omme intersection de deux droites. Celles-ci seront re'alise'es avec la
re~gle. C'est ainsi que nons obtiendrons le, conjngne harmoniqne d'nn
point donnea C par rapport ~' denx autres A et B en ligne droitle. avec,
lui. en construisant nn qnadrilate're complet ayant A, B et C ponr som

(1) me-mc rcnvoi que ci-dessus., P. 2.