Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

148 CHAPITRE III.
Pour ces courbes isole'es, avons-nous-dit, il n'est pas d6montre6 qu'iI
y ait un maximuLm de points doubles represented par 2
Danis chaque cas particulier il faudra ve'rifier que le sche'ma de courbe
que i'on examine conduit 'a une impossibilite' ou 'a une courbe de'comiposee.
Les courbes d~ge'nere'es ellesMemes out d'ailleurs uin maximum de
points doubles lorsque les courbes composantes ne sont pas des courbes
isole'es. Conside'rons en effet tune courbe de degre' m constitui ee par deux
courbes monoge'nes de degre's p et q. On a p +q -m. D'autr e part, le
nombre maxim~um des points doubles est
Nzpq (p-I)(p —2) (q -t) (q -- )
et apre's reduction
2N =(!zpq q+p - q) 7 ( q) ~4
2N i2-3 -i(n-)(i-2 —.
On voit que la valeur en points doubles maxima d'une courbe d~composee en deux courbes 616mentaires est, supe'rieure de i an maximum dles
courbes monoge'nes de Meme degre6. Ii est clair qu'il serait superieur de n
pour une courbe decompos~e en n e'lements ()
Les courbes monoge'nes qui posse'dent le nombre maximum de points
doubles, et qui. sont par suite de genre o sont appele'es unicursales.
Types des courbes -des premiers degres. -Nous connaissons les
faisceaux ponct uels de degre' i et de degre' 2. Le premier se confond
avec la gerbe ponctuLelle; le second est de'fini par 4 Po'ints.
Une courbe aloe'brique du troisie'me ordre est de'finie par 9 points. Un
groupement mode F de degre' 3 est done forme' de 8 points. Mais il pourra
cette fois se rencontrer un point double, ce qui ramenera. a 6 le nombre
des points distincts du groupement. Nous aurons pour le degre' 3 les
deux -types suivant-s
Al A, -.. A8/i i...
IkIA2- -. A6/21... 1.
Les, cubiques sont done de deux sortes:sans point double (genre i)
ou avec point double (unicursale). Il est facile de voir directement, qu uine,
cubique ne saurait avoir deux.pit doubles A, et A2 car la droit~e AjA2

(1) Ce r6sultat n'cst pas modifi6 si les courbes composarntes se coupent en des
points multiples.