Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

ETUDE DES COURBES PLANES. CAS 1PARTGf[LIER DES COURBES ALGEBRIQUES. 147
dirons qt'il est, pour la courbe, essentiel. La proposition ci-dessus conduit
alors au resultat suivan-t: la valeur en points doubles des points sing;ulters
de la courbe est au maxcimum de -(m -(- '
20 Le gvroupement mode F est formie avant d'avoir utilise6 la -otalite
des points singuliers, autrement dit les K, -- points determinnants
sont atteints en laissant de ote des pos points multiples (ou mineme une
partie d'un point multipte que l'on auta utilisei avece un ordre de iutttiplicite moindre et an besoi an ec avo adjoction de tangentes). Dans e C8asj
'existence d'un maximum po e de po1e nobe e oints doubles n'est pas
demontree (1).
Il faut d'ailleurs observer que cette derniere circonstance est celle
de courbes tres speciales, qui ne peuvent exister qu'h la faveur d'une
disposition particuliere des points singuliers. En efet, des cue q 'on a
atteint le nombre K,, de points determinants, la courbe est enti;erement
definie et a priori ne possede pas d'autres points singuliers que ceux deja
rencontres. II faut pour qu'il s'en trouve d'autres que la disposition particuliere des K,,, premiers pointsX entraine d'elle-mevme la singu'larite de
nouveaux points (2). Par suite, si une telle courbe etant realisee, on modifie i'un des points determinants, une courbe du rmme -type cesse d'etre
possible; les courbes de cette sorte sont done des courbes isoMees, des
solutions singulieres parmi les courbes d'un faisceau.
(1) Observons que la deimonstration- donn6ee dans les traites au moyen de la courbe
de degr6 (m - 2) sans singularit6s ne signifie rien, car elle suppose tous les points
multiples doubles seulement, ce qui est exceptionnel.
Ainsi, consid6rons une courbe S du sixieme degre qui serait du type 422 222, c'esta-dire cqui possederait I point quadruple et 5 points; doubles (equi.val:ents: i
ii points doubl'es, alos quoe - f( ). La quartique passant par ces
6 points et 8 autres cloisis arbitrairement sur S donnerait 22 points d'intersectionl
obliges, nombre inferieur a 4 X 6 24. Une droite, une conique, une cubiqceT de'finic
par 9 points ou une courbe de cinquieme degr6 d6finie par 20 ne donnerai-en- non plus
aucun r6sultat inadmissible. Notre raiso-nnement a montr6 par contre que o'hypothese d'une telle courbe est a rejeter, et il est facile de voir qu'elle serait d6egn6r6e
et constituee par deux cubiques tunicursales.
(2) La premiere courbe qui- se rencontire dans F'otdre des degr6s croissanrts et pour
laquelle la valeur determinante des; poinits singutliers est egale a Kt,, est la counTbe du,
sixieme degre poss6dant 9 points doubles. On d6montre facilement qu'une courbe
de ce type definie par 9 points quelconques pris comme points doubles se decompose
necessairement en une cubique double ou deux cubiques. Elle ne peut exister comme
courbe m6nibl'g'6n qno'A lia faweur d'tune disposition parti'cuelii6rec des 9 poinit', c'esta-dire comme courbe isolee.