Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE III.

soit du model F pour le degre mn sera
u i(ujL:-,) I n( - + 3)
Z -- =1. '
et pour qu'il soit du mode R
u. ( uti- - F) t__ in( 3- ). 2 2
Remarquons qu'en un point double A d'un groupement mode F deux
courbes du faisceau ont quatre points d'intersection, alors que ce point
n'equivaut qu'a trois points determinants: il vient done se confondre
avec A necessairement un point entraine. Plus generalement, un poin-r
d'ordre u donne ui intersections alors qu'l] compte' setliement pour VX
points determinants, ce qui montre qu'avec lui viennent se confondre
u( u 4- i) it (u -, )
ut2 — — (U- =+ ( — I D2 2
points entraines. On voit que la presence d'un point wi;nltiple d'ordre i.
dans un grotupement mode F diminue le nombree des poits, entraines distincts des points du groutpement d'un nombre egal d sa,aleur en pointsl
doubles.
Si done A- AA....A,,/u., Y.... ui est un pareil groupenen-, son genre sera.
en appelant
u _l ( uI -- ') 7,.(u,, —,5
D: - _,_2__
21 2
sa valeur en points doubles totale,
O( - -(i)(ni-2) D
oo- D-.
Or, la quantite g est par definition positive ou nulle; ceci montre que
le premier terme du second membre represente pour D, un maximum,
c'est-a-dire que:
La valeur en points doubles des points dutn groupemzent F,, est au maximum- de (m -I ) (m - 2)
2
Soit donnee une courbe quelconque S. Definissons sur elle un groupement mode F en utilisant ses points singuliers dans Fordre de leur
multiplicite. Deux cas peuvent se rencontrer
iO Le groupement mode F comprend tous les points singuliers. Nous