Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

P,,rUDE, DES COURBES PLANES. CAS PARTICIJLIER DES COURBES ALGEBR[QUES I [
suite fixes dans le plan et parfaitement de'finis par la. connaissance
des k,,,-1 premiers points.
Nous dirons qu'nn groupement mode F sera coraplet lorsqu'il COrnprendra ses points entralnes. Ceiix-c i n'ajoutent rien 'a la determination
des courbes. Observons d'aill~eurs que les points d'nn groupement
complet sont tons identiques entre eux et que seni, l'ordre dans le~qnel
on les enivisage les distingule en points d6terminants et points entraine6s.
Nons dirons qne les points du gronpein-ent complet sont li's- an degre in.
On appelle genre d'nn gronpement mode F le nombre g de ses points
entrain6s. On voit aussito't sur la formule que le genre d'un gronpement,
de degr6 i on 2- est tou.'ours 0.
La doinn'e de k,,, points ne d6termine plus nine courbe alge'brique lorsqne
ces, points sont pris parmi ceux d'un groupement F.. complet. Le terme
de points ind~pendants que nous avons employ6 page i 17 et page 13
se pr6cise ici et nous -Nvoy\ons cjn'il. pent etre de'fini corume suit
Des points donne's, en nombre p, sont dits non ind~ipendants relativemet ixnue loi de g'n'ration alg~briqne de degr' in, dans les deux cas
suivant's
10) Si PILus de ki d'entre eux sont suir Line courbe de degre' i, inf~rieur
a in;
20~ Si certains d'entre enx sont, W~ porl dg6 on ponr tinder
inf 6rieur.
En particaiher, observons que les inp points d'intersection de deux
courbes de degr~s in,. et p ne so nt jamais independants relativement
an degre' le plus e'ev6, in par exemple, de's que in et p sont l'nn et l'autre
snperieurs a 9.
En effet, pour d~finir la courbe S de degr' nin, choisissons arbitrairement Sur la courbe C de degre6 p N points, plus 71"1 ~ 3) -N en
A~~~~~~~
dehors. Si ce dernier nombre vient e tre '(gal on infe'rieur ' K1,,a
solution qui s'oftre pour la courbe de degr' win est compose'e de la conrbe C
et d'nne courbe de degre' (in- p). Ceci se prodnit lorsqne
N> p(i — 3-p)ou No.
On voit done que l'on ne pent choisir snr C qne No -- i points arbitraires an plus comme points d'intersection avec une courbe qnelconqne
de degr' in. Les rrp - (No -- i) antres, soit
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