Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

1 4o CHAPITRE MI.
tion d'nne courbe de degre' m. On voit que, Landis qu'il existe des courbes
alge'briques de tolls les degre's, il n'y en'a pas qui soient de'ermine'es pal
trois, quatre points on pins gene'ralement par un nombre qui ne rentre
pas dans l'expr ession ci-dessus.
Remarqnons que l'ensemble des denx courbes S,,,. et Sp, consider6s
comme constitnant nne conrbe unique de'gene'ree de degre' (in H- p) exigerait pour etre determin~e en cette qualite' un nombre de points km~I)p
qui n'est pas e'gal 'ah, k1 kp. Ii est facile de ve'rifier que la relation ve'ritable entre ces trois quantities est
kl+p - kil -F. k' -P- nflJ.
Cela montre que si l'on vent de'fin'ir l'ensemble de deux courbes in eL p
comme courbe de degr6' (in ~ p), il faut lui attribuer comme points de'terminants:
io Sur chacune d'elles un nombre de points convenable pour la d&Lterminer- isole'ment;
2-0 Un nombre de points supple'mentLaire's e'gal 'a celni. de leurs intersections.
Points entraines. -— Genre. - Soient S et 5' deux courbes de
degr' in. Elles se coupent en in 2 points. D'autre part, elles peuvent C'trc
conside're'es comme appartenant h tiun faiscean ponctuel dont le group)cinent devra comprendre
in(,n -~- 3) 2-~ 3m1 -- 2
2 ~~~~~~~~~~Po]IInts.
Or, cc nombre est plus petit que in des que inetpumgadqc2
La diffe~rence est e'gale 'a
(mn -- i0 (in - 2)
ccci en e'cartant le cas de points d'intersection multiples que nous verrous
tout 'a l'henre.
1i en re'sulte qne si, choisissant unn groupement mode F de degre' in,
on conside~re deux conrbes dn faiscean qn'il de'finit, elles se couperont
encore en g points:ceux-ci sont ne'cessairement singuliers dans le plan,
pnisqu'ils de'rogent 'a l'hypoth'se q ue la fixation d'un k0111e point de'tcrmine uine courbe dn faisceau et une seule. Ces points sont les points
entraine's du groupement; les courbes du faisceau 6'tant monoge'nes, uls
sont fixes sur l'nne des courbes quand l'antrc vanie dans le faisceanpa