Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

ETUDE DES COURIBES PLANES. CAS PARITICULIER DES COURBES ALGEBIRIQUES 13
de S' avec une certaine droite D. Soit M le point varlaible qui de'finit une
courbe du faisceau. Amenons-le 'a se trouver lui aussi sur D et Soit S' la
courbe du faisceau correspondante. Cette courbe avant avec D p +
intersections, c'est.-h-dire plus que son degre' ne comporte, ne peuit etre
que dgeneree et comprend la droite tout entle're; elle est compl6te'e par
tine courbe s'l qul doit rencont~rer toute droite du faisceau en (p — i)
points, c'est-a'-dire qui est de degyre p -i.
Le nornbre N, evalue' suir la courbe S' du faisceau F', se compose de
/)II points sur la droite D, plus le normbre N' des intersections de S aveec
tine courbe de degre' p I.
AIbaissant de proche en proche le degre' de la deuxie'me courbe jusqu'hi
la rend-re du degre' i, cc qui exigera p — i operations, nous trouverons
p -- 1fois in points d'intersection, plus ceux de S avec une droite, c'esta-dire ind anu total rnp.
Le nombre N depend done unicjuement des degre's des courbes consid6r~es et est e'gal A leur pro duit.
Dktermination des courbes de degr6 in. Supposons que la
deitermination d'une courbe algyehrique S de degre6 in soit obtenue par
la donnuie de k... points d~terminants. Cherchons 'a exprimer ce rnombre
en f onction de in.
Choisissons comnme pr'ce'demmnent sur la courhe S k,,,1, points dont- in
soient les intersections de S avec une certaine droite D. Puis, de'formons
la courbe en lui faisant d6crire le faisceau ainsi d~fini. Le degre, comme
nous savons, ne change pas. Aneieons par un trace' continu le k,,,iime point,
qui determine la courbe, ~ise trouver lui aussi su,.r la droite D. Celle-ci
se trouve avoir (in A-) intersections avec 5, devient partie int_6grante
de la courbe, qui comprend en outre uine courbe de degre6 (in -i). Or
cette dernie're ne'cessairenment existe et est d6termin'e d'une manie're
tuniqtie, et cela par les k,,, --- in points d6terminants non sitties stir D.
11 fauit done que l'on ait.
k,,11:-:: kII - i.
EcrIvant les 6(yalit~s sttcc essives que 1'on obtient en rernplagant in
pa (in-1 i), puis par (in -- 2,), etc. et tenant compte que k1 =-92 (cas
de la droite), on obtient sans peine
k,,, Mni ~ 3)
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Telle est 1'expression du nombre de points necessaires 'a la de'termina