Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

INTRODUCTION ET GE~NE-RALITES.3

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tinue de points telle que la donne'e de deux points en de'finit. tou'Jours
une et une seule. )) L'existence de lignes repondant 'a cette definition
est un postulat, on plus exactement c'en est un que la coincidence de
ces lignes avec les droites dont nons avons la notion directe comme
abstraction d'un fli tendu, d'un rayon inmineux (postulat de concordance). Lorsqu'on vent affirmer le caracte're d'ensemble de points par
opposition 'a l'ide'e de droite directement concue, on nomme cet ensemble
diiv'ision droite.
La plus simple des surf aces est le plan. Nous le de'finirons comme e'ta'nt
le lieu. des droites rencontrant deux droites donne'es q ui se coupent (1).
Cette definition entraine que deux droites quelconques du plan ont en
general un point commun. En effet, soijent A et B deux droites qni
de'finissent nn plan P, et C et D deux droites quelconques dnU meme plan.
On pent aussi consid'erer P comme de'ilni par A et C, et par suite D, qui
en fait partie, est une droite rencontrant A et C, ce qni montre que denx
d'roites quelconques dn plan, C et D, doivent se rencontrer. On pent
passer facilement de cette definition 'a la definition usuelle du plan:surface telle que tonte droite qui y a deux de ses points y soit contenne tout
entiere. En eff et, si une droite D passe par deux points a et b d'un plan P,
ii suffit de conside'rer ce'lui-ci comme de'fini par deux dr'oites A et B
prises parmi celles lui appartenant qui passent respectivement par a
et b; la droite D rencontrant A et B fait partie dn plan P qn'elles
d~term inent.
On mate'rialise un plan de mulle manie'res; les droites ypeuven etre
figure'es an moyen d'une re'gle et d'nn ontil 'a tracer. Nons donnerolls
le nom de colligeant hi tout ensemble auxiliaire dont la re'alisation directe
rentre dans les moyens dont dispose' le ge'ometre. La droite est le plus
simple colligeant du plan ponctue]..
Or, joignons dans un plan P nn point 0 'a nn point variable M d'une
droite D. La droite variable obtenue balayera le plan P. Illoignons ind&'
liniment le point M sur D. L'expe'rience mointre que la droite OM tendra
vers une position limite dans laquelle elle cessera de rencontrer la
droite D, tout an momns en unn point accessible, en continuant cependant'
ai etre situn'e dans le plan P. On dit alors que OM est parallele 'a D. Ces
deux droites ne satIsfont plus 'a noltre re'gle de tout s l'heure. Ii faut done
dire pour etre exact que denx. droites d'un plan se coupent en un point
an plus.

(1) La coincidence de la surface ainsi d~finie et du plan directement coiieu r~sulto
egalement d'un postulat de concordance.