Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

ETUDE DES COURBES PLkNES. CkS PARTICULIER DES COURBE.S ALGEBIRIQUES. 137
de'montrer tout de suite chez ces courbes l'existence des cercies directeurs, du cercie orthoptique, etc. La definition par les sections' d u co'ne
conduit plus directement aux proprie't~s des foy-ers et de la directrice.
L'une et l'autre n'atteignent qu'avec peine les questions d'intersection
et de deitermination qui resultent ausiot de la definition par les faisceaux homographiques:c'est que ces derni~res proprieite's leur appartiennent tout spe'ialement en qualite' de courbes du second ordre.
Nous allons nous attacher ici 'a e'tablir les prpie~ des ore l
briques en taut que courbes d'ordre mn et nous- ferons pour cela un
instant l'bypothe'se suivante:Si k, est le norubre des points d~terrminants ne'cessaires pour de'finIr une courbe d'ordre in, nous adnmettrons
que km points quelconques du plan en determinant toujow's une et
d'ailleurs une seule sauf- peut-e'tre pour des points isole's. Ceci revient 'a
ad-mettre que les domaines du kni Pme point pour les diffT'rentes lois de
generation qui rentrent dans l'ordre mn recouvrent le plan tout entier.
Notre the'orie sera donc subordonne'e ii la verification de cette hypothe'se. Nouis savons qu'il en est bien ainsi pour l'ordre 2. Pour prouver
qu'1il en est de Mmnie pour un ordre quelconque donne', il fatidra le
de'montrer, par voie de recurrence par exemple. Remarquons en passant
que nous sommes de's maintenant en mesure de former des courbes alge'
briques de tout ordre, de'ge'nerees il est vrai, en re'unissant un nombre
convenable de droites et de coniques.
'Conside'rons un groupement de k,,, — points A, B,..., F qui d~finit un
faisceau ponctuel de courbes d'ordre in. Par tout point du plan passe
une courbe du faisceau que nous pouvons conside'rer comme de'termin~ee
par exemple par sa tangente Ax en A, si par A il ne passe qu'une branche
de la courbe. Supposons qu'il n'en passe q-u'une Regalement par B, C,
et soient By, Cz,... les tangentes 'a la courbe de'inie par Ax. 11 est clair
que Ax et By, Ax et Bz,....se correspondent homographiquement; le
lieu du point d'intersection de Ax et By est une conique passant par A
et B, etc. Si, par un point E du groupement, il passait e branches de
courbes du faisceau, la correspondance entre les e tangentes et Ax serait
simplement rationnelle, le lieu des points d'intersection serait Line courbe
d'ordre e +i.
Intersection de deux courbes algebriques. Soicut S et S' deux
courbes alge'briques et supposons qu'elles se coupent en N points re'els.
Conside'rons 5' comme appartenant 'a nn certain faisceau ponctuel F'
et faisons-la varier dans ce faisceau. Le nombre des intersections re'elles
avec S pourra varier; mais, comme dans le cas de l'intersection d'une