Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

ETUDE DES COURBES PLANES. CAS PARTICULIER DES COURBE-S ALGEBRIQUES. i35
allonge'e dont l'axe soit situe' suivant une droite du donmine T3.. Soient'A, B, C, D, E, F les six points d'intersection de la cubique et de la
conique (1).
Choisissons en outre notre coniqne anxiliaire de manie're qne denx des
cordes AB et CD par exemple se conpent en nn point G Snr la cubique;
il est bien clair qn'il conviendra pour cela de proce'der en pratique dans
1'ordre inverse de celni que nous venons d'indiquer, c'est-ah-dire de
choisir le point G, de tracer les droites. GAB et GCD et de f aire passer
nne, coniqne convenable par les quatre points obtenus.
Cela pose', envisageons le faisceau ponctuel des cubiques d~fini par
le gronpement ABCDEFGH. Ii comprend tout clabord la cubique S que
nious ponvons- de'terminer-par exemple par sa tangente Ut en H. Ii
comprend anssi l'ensemble de la conique anxiliaire et de la droite FIG,
ce, qui fournit Snr D un couple d'intersections reelles, aa'. Enfin-,il cornlprendles ensembles ABG- -4- conique CDEFH et CDG +conique ABEFH.
Ces deux cubiques d~ge'ne'rees donnent Sur D, ontre H, deux couples
d'intersections reelles constitu~s par les points de rencontre des droites
qu'elles comprennent et les deu~xie'mes points d'intersecition des coniques (2). Nonis attacherons egalement 'a chacnne de ces courbes sa tangent e en H, qni est la tangente 'a la coniqne qu'elle contient.
Nous voici en possession de quatre cubiques d'un faisceau (de'finies
chacune par les tangentes en H) et donnant Sur D des couples d'intersections dont trois sont reels et dont le quatrie'me est 'a determiner. Nous
oside'rerons l'nouion poirtee par D comme obtenue par l'intersectLion de cette droite avec nn faiscean de circonf~rences et nons savons
qu'il y anra correspondance homographique entre les ftangentes en un
point fixe de ces cercies et. les tangentes en H.
Pour simplifier la constrnction, n ons prendrons ponr nne des circonf6rences du faiscean nne de celles passant par aa' et tancgentes 'a la
droite HG. Le point de contact P sera nin des points fixes du faisceau de
cercies, l'autre e'tant h l'intersection de P~aa' avec Pbb'.
Dans ces conditions, les faisceaux- homographiques de sommets H
et, P ont nn rayon commutn homologue et les intersections des autres,
couples de rayons doivent e tre en ligne droite. Ceci permet de construire
facilement la tangente Px correspondant 'a Ut et par suite nous fait
()Nous suppoon ci la cubique et la conique trac~es; les constructions qenu
itidiquons no rentrent donc pas enti~rement dans le cadre des s( constructions g~om6 -triques )) au sens usuel do lemploi de la r~gle et du compas.
(2) II suffit de construirc un do ces doux points au moycn du th~or~me de Pascal.