Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

EFUDE DES COURBES PLANES. CAS PARTICULIER DES COURlBES ALGEBRIQUES. 033
On a vu 'a deux reprises que cette ge'neralisation de la notion de degr6
est permise par la proprie'te de determination unique qpu est la propriet fonamentale des courbes algt'briques et par suite ne pent s'appliquer qu'a3i celles-ci.
Mais il s'agit d'e'tendre cette ge'neralisation an plan tout entier.
Pour cela, remarquons que le pro-ce'de qui nous a permis de montrer
l'existence Sur la droite D dans la position D2 de deux points imaginaires appartenant 'a S nons permet de construire les foyers F et F' du
couple MM'. Faisons parcourir 'a la droite' D une certaine gerbe enveloppe,
dont tine partie se tronvera dans le domaine TM-2 (par exemple f aisons-,la passer par tin point fixe convenablement choisi). Les foyers F et F'
de'criront un ensemble contiun simplement infini, c'est-a'-dire. une
courbe. Celle-ci est e'videmiment determin~e d'une facon comple'te par
la connaissance de la co urbe S et de la loi-du de'placement de la droite D,
c'est-a'-dire de son enveloppe V. Elle'posse'de donc une loi de generation
qni pen etre d'duiite, an moins the'oriquement, de la connaissance de S
et V. Supposons que noius l'avons de'couverte dans un certain cas particulier. Nous serons alors en mesure de construire le, lieui de F et F' directement, et cela nous conduira 'a tracer non seulement les branches de
cette courbe qni se rencontrent lorsque D se de'place dans- le domaine.
Tni2 inais aus els qui se rencontrent lorsqne D continue son de'pla"'-2' aussi celle~~~~~~~~~~~~
cement en dehors de lui et suivant la mcime loi. En particulier, nous
aurons ainsi le-lien de F et F' correspondant 'a des positions de D situe'es
dans le domaine T,..Soit D, tine de ces dernie'res positions. Nous connaissons sur la droite D!. Mn 4 intersections re'elles avec S, deux intersections imaginaires de'finies par les foyers F et F' correspondants, Soit
en tout mn 2 Adjoignons comme plus haut 'a ces m 9 — points n nonveaux points de la courbe et envisageons le faiscean ainsi de'fini; nous
montrerons de la me'me manie're que 1'on est conduit 'a attribuer 'a D.,
deux nouveaux points d'inters.ection imaginaires, portant encore Ic
nombre total de ses intersections avec S 'a m points.
Cc' raisonnemient pen etre poursuivi jusqn'au domaine minimumn.
Nons arrivons ail'~nonce de cette proprie'te fondamentale des courbes
alge'briques, qui a re'sulte' pour. nous d'une manie.re directe de leur de'finition ge'ome'trique
Une courbe alge'brique de degre' m rencon-tre toutes les dr-oites dui plan
coinpiexe en in points.
De rneme que nous avons de'fini ics courbes alge'briques par nue expression ge'neraliseme de la d~finition de la droite, de me'me nous venons de