Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE Ill.

Le nombre des tangentes qonp tmeedunoint h unecueS
est donc b'galement ton/iours pair on tou jours im~pair. S'il a un maximum,
onl dit cque la courbe a. une classe exprimebe par la valeur de ce maxinmum.
COIJ1IIES ALGEBRIQU.ES.
Nous avonsexposbcom ent -tat donnbe une lo'. de gebnberation (L)
et fixant un iiombre croissant de points dbternminants, on parvient,
k de ceux-ci &'tant donnbs, h ne pins rencontrer qu'un nombre fin-i de
courbes de l'espe'ce. Un cas parifticlier remarquable est celni oiA ce
nomibre fini est r. Les courbes qlui se tronvent dans ce cas sont dbtersmn111ees exclnsivenment par des points dbterminants h libertb' entiebre. On
dit q ue de telles courbes. sont alge'briques. Pins "exactement, ii taut dire
que la loi de gebnbration (L) envisagbe est algbbrique, car une me'me
courbe pent rebsulter de g~n6rations trebs diffterentes; ii suflit que l'nne des
lois auxquelles elie r~pond soit alge'brique pour que la courbe le soit ()
Le lecteur a -vu par les d~veloppements ci-de ssus que cette definition
des courbes alg~briques n'a de senls que si l'on raisonrie exclusivementisur des courbes monogb~nes, on plut6t, suir des lois monogeniques. La
dbfinition1 conmplebte d'ane courbe alogbbrique ressortL done comme la suivante
Une cot/be alg'bri~que est une courbe n-tonogene telle que sa dMti unination- re'sulte de lea donn~e (le points determninants tons et libertW entli?-e.
Cette dbfinition est prbcise et gbii rale, mais elle 6qui-vaut, 'a quelqties
reserv\es pr's (2), - asiante
Une conrbe alg~briquc est nec con;'be telle quc par k points dn plan ii en
pseune etitnie senice.
Sous cette forme, cue apparaiff comme la gbnebralisatLion la plus naturelle de la definition de la ligfne droite celle-ci represente la courbe algbbrique correspondant ii 2. 9 Senlement, tandis que 1'Iexistence de
iign es droites rbpondant h cetto dbfinition est un des postulats fonda()Cost ainsi que la parabole, alg,6briqne en taint quo conique comnme nous lo
vorrons plns loin, r6poncl aussi Li la loi do g6n~ration (~lien des points 6quidistants
dunM point fixe et d'nne droite e), loi transeendante an m~me titre quo cellc do la
chainette, conunc n-ons lavons indique plus haut.
(2) 1l y a exception lorsquo los, points no sont pas <(ind~pendants )). [Clf P. 1,23,
note (1).] Nons donnoron-s un sons precis it cette expression paoo iii.