Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CIlAPlTRE Til.

On voil qul'uine tangente ( la courbe S el; aussi toute droile passant
par,1n point de rebroussement est uin 6lemenl frontiere entre deux
domaines de la gerbe plane, tels que dans Fun, an voisinage bien enltenrdu
de ladite droite ou tangente, les droites conpent la coUrbe en delix ptoints
de momis que dans l'antre. la gerbe en.sem-ble des tangentes do la
conrbe S separe done dans la gerbe plane divers domaines tels qfie le
FIig. (4.
A'
B'
nonibre des intersections des ciroites de ces domaines a-ec la courbe,
constant dans l'etendne d'in domaine, diftlre dce deux unites, dans in
sens ou dans i'autre, de celui des domnaines voisins. La connexion de ces
diflerents domaines se cornplelte anl moven des langentes mniliples de
la courbe S.
Si done le nombre des intersections d'llne courbe S avec lune droite
quelconqle est p, celui de ses intersections avec toute autre droite dn
plan sera (le la forme p -+ n. On voit qtie ce iombre est loujol.trs pair
oil touj'otrs imnpair.
Degre et classe. - e nombre d'intersections p ~? 7-t a toujours
evidemment nn miinnmum; il pent avoir u1n maximum ou n'en pas avoir.
Ce dernier cas est celu; des conrbes periodiqcles ou paraperiodiques. S'il
a in maximum, nous dirons (qun la conrbe S a ini degre, celui-ci 6etant
exprime pirecisenen-t par le nombre maximum des intersections rencontrCes (1).
Le mnime raisonnement, transporte sur le terrain correlatif, cotnduiit
au resultat suivant, don-t l'enonce est peut-ttre plus intuitif quoe lc pr6 -cedent: une courbe quelconque S 'a laquelle il faut adjoindre ses tangentes d'inflexion separe dans 1e plan un certain nonmbre de donaines
tels que le normbre des tangentes que l'on pelit nener d'un de leurs points

(') II cst a rcmarqucr quc tout cc raisonnemcnt s'applique a des courbcs absolumcnt quelconques, transcendantes ou decomposecs, pourvu qu'clles soient cormpletes.
I1 n'est question aussi comme dans tout ce Chapitre que d'el6ments reels.