Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

ETUDE DES COURBES PLANES. CAS PARTrICIJLIER DES COURBES ALGEBRIQUES. 12~
derait un domaine, ce qui est contraire ~ l'hypothe'se. C'est done qti'en g,
les eourbes de l'espe'e proposee admettent toutes la nehme tangente.
Soit g1 le point de cette droite infiniment 'voisin de g qni la determine;
par luii passent toutes les courbes de l'espeece qui -passent pa g; cites
sont done une infinit6 et le point g]1 apprtent a la courbe (g), dont la
tangente est aussig.
Allant de proehe en proehe, onl voit qne ehaque eourbe de l'esp~eCe
eomprend en entier la eourbe (g), plus une antre eourbe -\variable. Le eas
que nous envisageons eorrespond done bien, eomme nons l'avions
annone6, hi une loi de generation non monogenique.
Ii nous reste 'a examiner l'hypothe'se 011 les points A, B,..., F, G d~finissent une infinit6 de eonrl~es de l'esp~e'e senlement pour des porints
isol~s G, G2..., anL lien qn'nn antre point G' n'en fait plus obtenir
avee AX, B,..., F qu'un nombre fini. Dans e e eas, il f anLt remarqner que
A, B,...,~ F, G1, G' on A, B,...,~ F, G' de'fi-nissent les me'mes courbes.
On en eonelnt
jOQu'il y a lien d'exelure les points G1, G,.. mehi ni iI1 poin
determinant, puisqu'ils n'ajoutent rien h la determination de la eourbe;
2-0 Que ees points appartiennent hi toutes les eonrbes de l'esp~e'e passant de'ja' par A, B,..,F. Ii est manif este qu'ils sont entie'rement d~termln~s par la eonnaissanee de la loi (L) et de A, B,..., F et nons dirons qn'ils
sont entratne's par enx, relativement 'a eette loi.
Exenmple:hnit- points determinants cl'une enbicjne en entrainent en
oen~ral uni neuvi~me.
intersections d'une courbe avec les droites du plan. -Consid~rons
nine eourbe qneleonque 8, et soit D nne droite qui. la eoupe en des
points A, B,..,L. DWpla~ons infiniment pen la droite D d'une mianiere
eontinue jnsqUn'en DU. Chaenn des points, A, B,...., L se de'plaeera d'une
maniere eontinue Sur S et donnera Snr n'ln point d'interseetion.
Comn-e la courbe ne saurait a-voir de point d'arr't, Ii ne pourra &te
rencontre' Snr D'un nombre de points diffl'rent que sur D, sanf Si la droite
mobile vient hi passer par un point de rebronssement, on Si la direetioni
dn de'plaeement de l'un des points, A par exemple, Sur la eourbe S est.
pr~eise'ment la direetion de la droite donne'e, e'est-a'-dire si D est tangente 4x S en A. Dans ee dernier eas, D posse'de en eommun a-vee S ~un
autre point B infiniment -voisin de A, et le de'plaeement de D a pour,
eftet, soit d'e'loigner l'un de l'autre suir S les points confonclus., soit,dce les
faire dlisparailtre simultan~ment.