Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

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CHAPITRE Ilf.

cesser de d~finir unme courbe unique, soit couduire accidentellement h
mLie courbe de'gn~r~e, repre'sentant rue solution lirnite. Celle-ci se trouivera n-atiirellement d~termnine'e dan s 1,0occurrence diffT'remment de ce
qu'exig~eraient se'pare'ment les courbes provenanit de la de'compositionl.
Points entrain~s. — Reprenons une courbe quelconque S de loi (L)
clont la d~termrniation exig~e k points de'termninants, plus rim h liberte'
restreinte. Solent A, B,...,I G, H les k points entiers. Par eux passent
p courbes de l'espe'ce. Par A, B,..., G ii en passait encore une infinit&.
Supposons, hv\pothe'se laisse'e mornentan'mnent de ct6t tout -' aIheure
que le point G, au lieu de posse'der un domaiane (G), ne fasse obtenir
une imfinite de courbes de l'espe'ce qu'a' la condition de se de'placer sur
rue courbe (g.Noris allons -voir touL d'abord que toutes ces courbes out
Fig. 6 3.
X~~~r
y
rue meime tangente en G, qui est d'ailleurs celle de (g). Soient en effet g
e t g'deux positions de G tre's voisines. Supposons que les tangentes eng
aux courbes de l'espe'ce forment rim secteur xgy; celles en 9' forrueront
rim secteur x'g'y' dont les c 6tes seront sensiblement paralle'es respectivenient aux pre&edents. Faisons de'crire 'a G lFarc gg' de la courbe (g)
d'rine mnani~re continue; gx et gy se de'placemt tangentiellernent ~h des
enveloppes (c) et (e'). Au voisinage du point de rencontre a de gy et g'x,
il existe rime aire (A) de'limite'e 'a partir de a par ces droites elles-nPi'rmes,
puis par les arcs d'enveloppe, qui est 'a l'imterieur de tous les secteuirs.
Un lpoint M- de (A), pris pour position de G, donnerait ume infinit.6 de,solutions, puisque, par lui passe rime tangente' (et par suite, rim arc) cl'une
courbe de 1'espe'ce pour chacum des points de l'arc gg'. Le point G posse'