Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

ETFUDE DES COURBES PLANES. C:AS PARtTICULIER DES COURBES AL(;EBIIQUES. 123
troisitne. Soient A,B,C trois points d6terminants, ec consid&rons celle des
courbcs de l'espece qui est constitu6e par la droite BC et la perpendiculaire abaiss6e de A. On voit aussit6t que si, laissant B1 et C fixes, oi
anicD A en A1, uine partie seulemlent dc la courbe, la perpendiculaire
abaiss6c de A, est modifiee, et l'ancicnni el la nouvelle courbe ont en
comumun la droite BC.
ULn autre exemple de courbes no1n ionogenes sera le suivant: Soit
donnee une loi de g6neration (L) qui avec points A, B,..., 11 fait obtenir
p courbes, dont chacune peut etre definic par la donnee supple6mentairc
d'un point restreint J; inodifions-la de maniere qu'elle soit satisfaite,
nonr plus par l'une de ces p courbes, mais par leur ensemble 2 et soit (L')
la loi nouvelle. 1Remarqouons incidenmment que par chacun des points
A, B.., I, passe par hypothlse une branche au moins de chacune des
p courbes, soit p branches au mnoins de leur ensemble; notre nouvelle
courbe est d6finie par k p)oints determinants entiers chacun au nlmoms
d'ordre p.
Cela dit, soit A I'un des points d6termlinants, dceplacons-le jusqu'cn A1
sur I'une des branches de 1, par exemple sur une branche appartenant
h la courbe composante C. Par les points A1, B,..., 11 passe une nouvelle courbe 2' de loi (L') composee de p courbes de loi (L) dont unc,
entierement definie par A, B,..., H, A1 coincide avec C. Les autres, possedant au moins un pinlt, le point A1, qu'elles ne poss6daient pasauparavant, ont 6te modifiees. L'enscmble '' est diff6lrent de >, bien qu'ayant
avec lui en conmmun une courbe entiere C.
La loi (L') n'est done pas monogenique. On pourrait en general, etant
donnee une loi de generation qui cxige pour la determination d'une
courbe de l'espece k points entiers plus un determinant rsreteint, la
modifier de facon a n'exiger plus que des points entiers; nous venons
de nontrer que ce serait a la condition de lui enlever le caractere de loi
irnonogenique.
Loi monogenique. - II ne faudrait pas croire d'ailleurs qu'il sulise,
pour qu'une loi de g6enration soit monogenique, qu'elle comporte un
enoncee unique. C'est ce que montre le premier exemple que nous avons
donne du (( lieu des points equidistants de deux droites fixes )).
D'autre part, une loi de g6neration monogenique, c'est-h-dire donnant
avec des points determinants (uelconques iune courbe monogene, pourra,
si ces points occupent des positions respectives particulieres (1), soit
(1) On dit dans cc cas quo les points donn6s ne sont pas < independants > (,oir
p. I17). Cctte expression sera precis6e plus loin dans le cas des courbes alg6briques.