Étude géométrique des transformations birationnelles et des courbes planes, par Henri Malet.

120 CIIAPITRE 111.
(courbe limnite analogue) la courbe aura balaN:6 les deux aires limite'es par
les paralle'logramrnes infinis de bases AC et BC. Ii existera done uLiie
ehai47lette et une seule passant par A, B, C et un point de l'une de ces
aires, les deux clerniers points &'ant sur l'arc dcl1im-ite' par les deux premiers. Remarquons que I'int~rleur du triangle et les angles opposes par
le soimnet sont excius.
A priori1, etant donn6s quatre points dlu plan M-INPQ, ceux cjue nous
devrons noter A et B pour r~entrer dans le cas pre&edent devron~t ietre
tels que la droite AB laisse les deux autres d'uLn meme c0te Prenons
corume telle la droite MAN. Joignons MIP et NP et mnenons les paralki —es.
Si Q est dans l'une des aires parall~log-rammes, nous obtenons une solution. On voit aussito~t qjue si l'un des points est. h I'int6rieur du triangale
formei par les trois autres, cette ceirconstanee ne pent se reneontrer, et,
ii n'y a pas de chaintette passant par les quatre points. Si au contraire une
droite MIN conduit hi imne solution, on 'Voit sans pein~e qu'alors le choix
de PQ cormie droite AB n'en fournit pas. De plus, AMP ou NQ, 'a l'exclusion l'une de l'autre, donnent une deuxic'me solution.
En r~sumn6, par quatre points a)rbitraires du plan, on peut faire passer
ze~ro ou deux chlainettes distinctes, et la determination de l'une d'elles
dans le dernier cas doit (-tre eoinple't6e par la donne'e d'un einquieinie
point 'a liberte' simple.
Ce r~sultat est identique 'a celui qu'aurait donn6 l'esp~e'e parabole
par exeimple de'finie comme lieu des points ebquidistants d'un point et
d'une droit-'-e (1). Il peu etre rattae'hb tiune proposition gebnbrale relative
aux courbes dont l'espe'ee est compose'e d'uine infinitb6 simple de courbes
distinctes; essa yons, en ediet, de faire passer une courbe donnbe par trois
points A, B, C. Cel-a revient h inscrire dans la courbe tin triangle 6bgal
a ABC. Or, ipla~ons s~ur la courbe A arbitrairemnent, puis B en une position convenable, C se trouv\7e de'terninb dans le plan. Faisons varier la

(1) 11 n'~en scrait pas ainlsi Si ion donnait (dc la parabole une mitre d~fin-ition; nous
retrouvcrons cc point dans Ia suite.